Calcule as seguintes integrais.
\int_{1}^{x} \frac{1}{t} \mathrm{~d} t

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{1}^{x}\frac{1}{t}\,dt
O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental do Cálculo e a antiderivada de 1/t.

Passo 2

Para encontrar a antiderivada de \tfrac{1}{t}, lembramos que
\frac{d}{dt}\ln\lvert t\rvert = \frac{1}{t}.
Logo, uma primitiva de \tfrac{1}{t} é \ln\lvert t\rvert.

Passo 3

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos a primitiva em t=x e em t=1:
\int_{1}^{x}\frac{1}{t}\,dt = \ln\lvert x\rvert - \ln\lvert 1\rvert.

Passo 4

Como \ln\lvert 1\rvert = 0, fica
\int_{1}^{x}\frac{1}{t}\,dt = \ln\lvert x\rvert.
Para x>0, escrevemos simplesmente \ln x.

Resposta

\ln x

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