Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
(f) x^{2} y^{2} y^{\prime}=1+x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de variáveis separáveis
x^{2}y^{2}\,y' \;=\;1+x^{2},
onde y'=dy/dx. Vamos usar o método de separação de variáveis: isolar todos os termos em y de um lado e em x do outro, e depois integrar.

Passo 2

Reescrevendo y'=\frac{dy}{dx}, temos
x^{2}y^{2}\,\frac{dy}{dx} \;=\;1+x^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} \;=\;\frac{1+x^{2}}{x^{2}y^{2}}.
Agora separe as variáveis: coloque os termos em y à esquerda e os termos em x à direita:
y^{2}\,dy \;=\;\frac{1+x^{2}}{x^{2}}\,dx.

Passo 3

Integre ambos os lados:
\int y^{2}\,dy \;=\;\int\!\bigl(x^{-2}+1\bigr)\,dx.
Calcule as integrais:
\int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3}, \qquad \int x^{-2}dx = -\frac{1}{x}, \qquad \int 1\,dx = x.
Logo
\frac{y^{3}}{3} \;=\; x - \frac{1}{x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Multiplique por 3 e reescreva de forma explícita:
y^{3} = 3\Bigl(x - \frac{1}{x} + C\Bigr) =3x - \frac{3}{x} + C_{1},
com C_{1}=3C. Finalmente, extraia a raiz cúbica:
y(x) = \bigl(3x - 3/x + C_{1}\bigr)^{1/3}.

Resposta

A solução geral é
y(x) = \Bigl(3x - \tfrac{3}{x} + C_{1}\Bigr)^{\!1/3},
com C_{1} constante arbitrária e x\neq0.

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