Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis (considere valores positivos e negativos para a solução
):
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede para determinar as soluções, considerando tanto soluções positivas quanto negativas para
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
é a derivada de
em relação a
. A equação relaciona essa derivada com
de forma que a variável
aparece apenas do lado direito como independente via derivada. Não há condições iniciais dadas, ou seja, queremos a família geral de soluções. Note que, ao separar variáveis, precisaremos tratar o caso
à parte, porque dividir por
exige
.
Passo 2
Método: separação de variáveis (explicação didática).
O objetivo da separação de variáveis é escrever a equação na forma em que todos os termos com ficam multiplicando
e todos os termos com
ficam multiplicando
. Começamos reescrevendo a equação:
O objetivo da separação de variáveis é escrever a equação na forma em que todos os termos com
Para separar, colocamos todos os fatores com
no lado esquerdo e
no lado direito, lembrando que isso só é permitido quando
:
Aqui cada lado está pronto para integrar em relação à sua variável: integrar o lado esquerdo em
e o direito em
.
Passo 3
Integração (com explicação da fórmula usada).
Usamos a fórmula básica de integração para potências: para ,
Usamos a fórmula básica de integração para potências: para
No nosso caso o integrando do lado esquerdo é
, isto é
. Portanto
Integramos o lado direito diretamente:
Juntando as duas integrais (podemos absorver constantes em uma única constante
) obtemos
onde
é uma constante arbitrária de integração.
Passo 4
Resolver para
e discutir o sinal e domínio da solução.
A partir de
A partir de
isolamos
. Multiplicando ambos os lados por
e invertendo:
portanto
É comum renomear a constante para escrever a solução de forma mais simples; por exemplo, definindo
obtemos a mesma família escrita como
onde
é constante arbitrária real. Essa forma deixa claro como escolher
para obter soluções positivas ou negativas: o sinal de
é o sinal de
, ou seja, depende do sinal do denominador
. Em particular, para um dado
, em intervalos onde
teremos
e onde
teremos
. Note também que a solução não está definida quando
: aí o denominador é zero e
tem uma singularidade (explosão para
). Assim cada solução contínua da família vive em um intervalo máximo onde
.
Passo 5
O caso
e relação com condição inicial (explicação prática).
Ao separar as variáveis fizemos a operação que exige , por isso o caso
(solução identicamente zero) precisa ser verificado separadamente. Substituindo
na equação original obtemos
, logo
é de fato uma solução (solução constante ou de equilíbrio).
Se tivermos uma condição inicial com
, podemos determinar
. Usando a forma
e impondo
obtemos
Ao separar as variáveis fizemos a operação que exige
Se tivermos uma condição inicial
Assim a constante é fixada pela condição inicial e a solução é
válida enquanto o denominador for diferente de zero.
Passo 6
Resumo final e verificação rápida (checar derivada).
A família de soluções encontrada foi
A família de soluções encontrada foi
e a solução constante
Uma verificação rápida: derivando
obtemos
portanto satisfaz a equação original, como desejado. Bom trabalho: agora você tem a família completa de soluções e sabe como escolher
para obter soluções positivas ou negativas em cada intervalo.