Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis (considere valores positivos e negativos para a solução y ):
y^{\prime}=y^{2}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y' = y^{2}
e pede para determinar as soluções, considerando tanto soluções positivas quanto negativas para y.
Informações relevantes que temos:
y'=\frac{dy}{dx}
é a derivada de y em relação a x. A equação relaciona essa derivada com y de forma que a variável x aparece apenas do lado direito como independente via derivada. Não há condições iniciais dadas, ou seja, queremos a família geral de soluções. Note que, ao separar variáveis, precisaremos tratar o caso y=0 à parte, porque dividir por y exige y\neq 0.

Passo 2

Método: separação de variáveis (explicação didática).
O objetivo da separação de variáveis é escrever a equação na forma em que todos os termos com y ficam multiplicando dy e todos os termos com x ficam multiplicando dx. Começamos reescrevendo a equação:
\frac{dy}{dx} = y^{2}.
Para separar, colocamos todos os fatores com y no lado esquerdo e dx no lado direito, lembrando que isso só é permitido quando y\neq 0:
\frac{dy}{y^{2}} = dx.
Aqui cada lado está pronto para integrar em relação à sua variável: integrar o lado esquerdo em y e o direito em x.

Passo 3

Integração (com explicação da fórmula usada).
Usamos a fórmula básica de integração para potências: para n\neq -1,
\int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} + C.
No nosso caso o integrando do lado esquerdo é y^{-2}, isto é n=-2. Portanto
\int \frac{dy}{y^{2}} = \int y^{-2}\,dy = \frac{y^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{y^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{y} + C.
Integramos o lado direito diretamente:
\int dx = x + C'.
Juntando as duas integrais (podemos absorver constantes em uma única constante C) obtemos
-\frac{1}{y} = x + C,
onde C é uma constante arbitrária de integração.

Passo 4

Resolver para y e discutir o sinal e domínio da solução.
A partir de
-\frac{1}{y} = x + C
isolamos y. Multiplicando ambos os lados por -1 e invertendo:
\frac{1}{y} = -x - C,
portanto
y = \frac{1}{-x - C} = -\frac{1}{x + C}.
É comum renomear a constante para escrever a solução de forma mais simples; por exemplo, definindo K=-C obtemos a mesma família escrita como
y(x)=\frac{1}{K - x},
onde K é constante arbitrária real. Essa forma deixa claro como escolher K para obter soluções positivas ou negativas: o sinal de y(x) é o sinal de 1/(K-x), ou seja, depende do sinal do denominador K-x. Em particular, para um dado K, em intervalos onde K-x>0 teremos y>0 e onde K-x<0 teremos y<0. Note também que a solução não está definida quando x=K: aí o denominador é zero e y tem uma singularidade (explosão para \pm\infty). Assim cada solução contínua da família vive em um intervalo máximo onde x\neq K.

Passo 5

O caso y=0 e relação com condição inicial (explicação prática).
Ao separar as variáveis fizemos a operação que exige y\neq 0, por isso o caso y\equiv 0 (solução identicamente zero) precisa ser verificado separadamente. Substituindo y(x)=0 na equação original obtemos y' = 0 = 0^{2}, logo y\equiv 0 é de fato uma solução (solução constante ou de equilíbrio).
Se tivermos uma condição inicial y(x_{0})=y_{0} com y_{0}\neq 0, podemos determinar K. Usando a forma y(x)=\dfrac{1}{K-x} e impondo y(x_{0})=y_{0} obtemos
y_{0}=\frac{1}{K-x_{0}}\quad\Rightarrow\quad K = x_{0}+\frac{1}{y_{0}}.
Assim a constante é fixada pela condição inicial e a solução é
y(x)=\frac{1}{x_{0}+\dfrac{1}{y_{0}} - x},
válida enquanto o denominador for diferente de zero.

Passo 6

Resumo final e verificação rápida (checar derivada).
A família de soluções encontrada foi
y(x)=\frac{1}{K-x}\quad\text{(com \(K\) constante arbitrária, e \(x\neq K\))}á
e a solução constante
y(x)=0.
Uma verificação rápida: derivando y(x)=\dfrac{1}{K-x} obtemos
y'(x)=\frac{1}{(K-x)^{2}} = \left(\frac{1}{K-x}\right)^{2} = y(x)^{2},
portanto satisfaz a equação original, como desejado. Bom trabalho: agora você tem a família completa de soluções e sabe como escolher K para obter soluções positivas ou negativas em cada intervalo.

Resposta

y(x)=\frac{1}{K-x},\\ K\in\mathbb{R}\\ (\text{válida para }x\neq K)á
y(x)=0

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