Determine as soluções das equações diferenciais lineares, usando o método dos fatores integrantes:
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem. As informações dadas são:
Queremos determinar a família de soluções
(a solução geral), com a constante de integração
.
Passo 2
Apresento a ideia do método dos fatores integrantes de forma prática e direta. Para uma equação linear de primeira ordem da forma
definimos o fator integrante
A utilidade é que, multiplicando a equação por
, o lado esquerdo se torna a derivada do produto
, isto é
No nosso caso temos
, logo calculamos o fator integrante:
Passo 3
Multiplicamos a equação original por
. Fazendo isso obtemos
Pelo motivo explicado no passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
Simplificamos no termo do segundo somando do lado direito:
. Assim
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Agora calculamos as integrais do lado direito. Primeiro, usamos integração por partes para
. A fórmula de integração por partes é
Escolhemos
(então
) e
(então
). Assim
A outra integral é imediata:
Portanto
Passo 5
Isolamos
dividindo por
:
Como
, obtemos a forma final
onde
é uma constante real arbitrária.
Passo 6
Verificação rápida (opcional, mas útil): derivando a solução e somando
obtemos
o que confirma que a solução encontrada satisfaz a equação original.