Determine as soluções das equações diferenciais lineares, usando o método dos fatores integrantes:
y^{\prime}+3 y=x+e^{-2 x} y(x)=C e^{-3 x}+ e^{-2 x}+\frac{x}{3}-\frac{1}{9}

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem. As informações dadas são:
y'(x)+3y(x)=x+e^{-2x}.
Queremos determinar a família de soluções y(x) (a solução geral), com a constante de integração C.

Passo 2

Apresento a ideia do método dos fatores integrantes de forma prática e direta. Para uma equação linear de primeira ordem da forma
y'(x)+p(x)\,y(x)=q(x),
definimos o fator integrante
\mu(x)=\exp\Big(\int p(x)\,dx\Big).
A utilidade é que, multiplicando a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torna a derivada do produto \mu(x)y(x), isto é
\mu(x)\big(y'(x)+p(x)y(x)\big)=(\mu(x)y(x))'.
No nosso caso temos p(x)=3, logo calculamos o fator integrante:
\mu(x)=\exp\Big(\int 3\,dx\Big)=\exp(3x)=e^{3x}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{3x}. Fazendo isso obtemos
e^{3x}y'(x)+3e^{3x}y(x)=e^{3x}\big(x+e^{-2x}\big).
Pelo motivo explicado no passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\big(e^{3x}y(x)\big)'=e^{3x}x+e^{3x}e^{-2x}.
Simplificamos no termo do segundo somando do lado direito: e^{3x}e^{-2x}=e^{x}. Assim
\big(e^{3x}y(x)\big)'=x e^{3x}+e^{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^{3x}y(x)=\int x e^{3x}\,dx+\int e^{x}\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Agora calculamos as integrais do lado direito. Primeiro, usamos integração por partes para \int x e^{3x}\,dx. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolhemos u=x (então du=dx) e dv=e^{3x}dx (então v=\frac{1}{3}e^{3x}). Assim
\int x e^{3x}\,dx = x\cdot\frac{1}{3}e^{3x} - \int \frac{1}{3}e^{3x}\,dx = \frac{x}{3}e^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x}.
A outra integral é imediata:
\int e^{x}\,dx = e^{x}.
Portanto
e^{3x}y(x)=\frac{x}{3}e^{3x}-\frac{1}{9}e^{3x}+e^{x}+C.

Passo 5

Isolamos y(x) dividindo por e^{3x}:
y(x)=\frac{x}{3}-\frac{1}{9}+e^{x}e^{-3x}+C e^{-3x}.
Como e^{x}e^{-3x}=e^{-2x}, obtemos a forma final
y(x)=C e^{-3x}+e^{-2x}+\frac{x}{3}-\frac{1}{9},
onde C é uma constante real arbitrária.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas útil): derivando a solução e somando 3y obtemos
y'(x)+3y(x) = ( -3C e^{-3x} -2e^{-2x} + \tfrac{1}{3} ) + 3( C e^{-3x}+e^{-2x}+\tfrac{x}{3}-\tfrac{1}{9}) = x+e^{-2x},
o que confirma que a solução encontrada satisfaz a equação original.

Resposta

y(x)=C e^{-3x}+e^{-2x}+\frac{x}{3}-\frac{1}{9}

Exercícios relacionados