Determine as soluções das equações diferenciais lineares, usando o método dos fatores integrantes:
y^{\prime}-2 y=x^{2} e^{2 x} y(x)=C e^{2 x}+\frac{x^{3}}{3} e^{2 x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
y' - 2y = x^{2} e^{2x}
e pede para determinar as soluções usando o método dos fatores integrantes. As informações relevantes são:
  • A equação está no formato y' + p(x)y = q(x) com o termo independente igual a x^{2} e^{2x}.
  • Queremos a solução geral y(x), que contém uma constante arbitrária (denotada por C).

Passo 2

Colocando a equação explicitamente na forma padrão de uma linear de 1ª ordem:
y' + p(x)\,y = q(x).
Aqui, comparando com \,y' - 2y = x^{2} e^{2x}\,, identificamos
p(x) = -2,\qquad q(x)=x^{2} e^{2x}.
Explicação curta do que significa cada coisa: p(x) é a função que multiplica y (no lado esquerdo) e q(x) é o termo independente (lado direito). Nosso objetivo é encontrar uma função y(x) que satisfaça a igualdade para todo x.

Passo 3

Apresentando o método dos fatores integrantes (passo-a-passo didático):
  • Para uma equação da forma \,y' + p(x)y = q(x)\, definimos o fator integrante \mu(x) por
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big).
  • A razão: multiplicando a equação original por \mu(x) a esquerda se transforma em derivada do produto \mu(x)y(x), pois
(\mu y)' = \mu y' + \mu' y = \mu\big(y' + \frac{\mu'}{\mu}y\big).
Se escolhermos \mu tal que \frac{\mu'}{\mu}=p(x) (isto é, \mu'=\mu p), então realmente (\mu y)'=\mu(y'+p y). E \mu'=\mu p é equivalente à fórmula exponencial acima.

Passo 4

Calcular o fator integrante para o nosso caso:
p(x) = -2 \quad\Rightarrow\quad \int p(x)\,dx = \int -2\,dx = -2x.
Logo
\mu(x)=e^{-2x}.
Verificação rápida: \mu' = -2 e^{-2x} = \mu p(x), então a identidade do passo anterior vale.

Passo 5

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{-2x}:
e^{-2x}(y' - 2y) = e^{-2x} \cdot x^{2} e^{2x}.
No lado esquerdo isso é exatamente a derivada do produto:
\big(e^{-2x} y\big)' = x^{2}.
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \big(e^{-2x} y\big)'\,dx = \int x^{2}\,dx.
A integral da derivada é a própria função (mais a constante de integração), então
e^{-2x} y = \frac{x^{3}}{3} + C,
onde C é a constante arbitrária de integração.

Passo 6

Isolando y multiplicando por e^{2x}:
y(x) = e^{2x}\!\left(\frac{x^{3}}{3} + C\right) = C e^{2x} + \frac{x^{3}}{3} e^{2x}.
Comentário didático: a solução geral é a soma da solução homogênea y_{h}(x)=C e^{2x} (obtida resolvendo y'-2y=0) e de uma solução particular y_{p}(x)=\dfrac{x^{3}}{3}e^{2x}. Isso é típico em equações lineares: solução geral = homogênea + particular.
Passo de checagem (rápido): derivando y e substituindo em y' - 2y obtemos x^{2} e^{2x}, confirmando que a solução está correta.

Resposta

y(x)=C e^{2x}+\frac{x^{3}}{3} e^{2x}

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