Determine as soluções das equações diferenciais lineares, usando o método dos fatores integrantes:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
e pede para determinar as soluções usando o método dos fatores integrantes. As informações relevantes são:
- A equação está no formato
com o termo independente igual a . - Queremos a solução geral
, que contém uma constante arbitrária (denotada por ).
Passo 2
Colocando a equação explicitamente na forma padrão de uma linear de 1ª ordem:
Aqui, comparando com
, identificamos
Explicação curta do que significa cada coisa:
é a função que multiplica
(no lado esquerdo) e
é o termo independente (lado direito). Nosso objetivo é encontrar uma função
que satisfaça a igualdade para todo
.
Passo 3
Apresentando o método dos fatores integrantes (passo-a-passo didático):
- Para uma equação da forma
definimos o fator integrante por
- A razão: multiplicando a equação original por
a esquerda se transforma em derivada do produto , pois
Se escolhermos
tal que
(isto é,
), então realmente
. E
é equivalente à fórmula exponencial acima.
Passo 4
Calcular o fator integrante para o nosso caso:
Logo
Verificação rápida:
, então a identidade do passo anterior vale.
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
:
No lado esquerdo isso é exatamente a derivada do produto:
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
A integral da derivada é a própria função (mais a constante de integração), então
onde
é a constante arbitrária de integração.
Passo 6
Isolando
multiplicando por
:
Comentário didático: a solução geral é a soma da solução homogênea
(obtida resolvendo
) e de uma solução particular
. Isso é típico em equações lineares: solução geral = homogênea + particular.
Passo de checagem (rápido): derivando
e substituindo em
obtemos
, confirmando que a solução está correta.