Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis (considere valores positivos e negativos para a solução y ):
y y^{\prime}=x

Passo 1

O enunciado pede: determinar as soluções da equação diferencial dada por y\,y' = x. É pedido também que se considerem as soluções com y positivas e com y negativas.
Informações dadas: a equação relacione a função desconhecida y(x) e sua derivada y'(x) pela igualdade y(x)\,y'(x)=x. Não há condição inicial fornecida, então buscamos a família geral de soluções (com constante de integração).

Passo 2

Escrevemos a derivada em forma usual e separamos as variáveis. Lembrando que y'=\dfrac{dy}{dx}, a equação fica
y\,\dfrac{dy}{dx}=x.
Agora queremos agrupar termos em y com dy e termos em x com dx. Multiplicando ambos os lados por dx obtemos
y\,dy = x\,dx.
Observação importante: não estamos dividindo por y aqui — apenas colocando os diferenciais de cada lado. Ainda assim vale checar o caso y\equiv 0: se y(x)=0 para todo x então y\,y'=0 mas o lado direito é x, que não é zero para todo x. Logo y\equiv 0 não é solução em um intervalo. (Pode haver pontos isolados com y=0, que vamos tratar depois.)

Passo 3

Integramos ambos os lados. Integrais básicas:
\int y\,dy = \int x\,dx.
Calcule as integrais:
\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}x^2 + C,
onde C é a constante de integração (número real arbitrário). Multiplicando por 2 simplificamos:
y^2 = x^2 + C.
Explicação didática: integrar \int y\,dy \tfrac{1}{2}y^2 porque a regra \int u\,du = \tfrac{1}{2}u^2 é direta; similarmente \int x\,dx = \tfrac{1}{2}x^2. A constante C aparece porque integrais indefinidas têm indeterminação aditiva.

Passo 4

Isolamos y. Da relação obtida
y^2 = x^2 + C
tiramos a raiz quadrada (duas possibilidades, positiva e negativa):
y(x) = \pm\sqrt{x^2 + C}.
Aqui o símbolo \pm significa que, para cada constante C fixada, existem duas funções candidateis: a de sinal positivo y=+\sqrt{x^2+C} e a de sinal negativo y=-\sqrt{x^2+C}. Em um problema com condição inicial, o sinal é escolhido de acordo com o sinal de y no ponto inicial.

Passo 5

Condições de existência (domínio): a expressão dentro da raiz deve ser não negativa, ou seja
x^2 + C \ge 0.
Como x^2\ge 0 para todo x, se C\ge 0 então x^2+C>0 para todo x e a solução está definida em toda a reta real. Se C<0 então o domínio da solução será
|x| \ge \sqrt{-C},
isto é, os pontos x com |x| grandes o suficiente (fora do intervalo (-\,\sqrt{-C},\sqrt{-C})). Em particular, para C=-a^2 com a>0 temos y^2=x^2-a^2, definida somente para |x|\ge a.

Passo 6

Casos especiais e suavidade das soluções:
  • Para C=0 obtemos y^2=x^2, isto é y=\pm\sqrt{x^2}=\pm|x|. As funções y=x e y=-x (que correspondem a escolher o sinal constante igual a + ou a - para todos os x) são diferenciáveis em toda a reta e satisfazem a equação original. A função y=|x| (ou y=-|x|) troca sinal em x=0 e não é diferenciável em 0; portanto não é solução clássica em todo \mathbb{R} (mas é solução em cada um dos intervalos (-\infty,0) e (0,\infty)).
  • Se existir uma condição inicial y(x_0)=y_0, determina-se C por C=y_0^2-x_0^2 e então escolhe-se o ramo + ou - conforme y_0 for positivo ou negativo, de modo a obter uma solução diferenciável no intervalo que contém x_0.

Passo 7

Exemplo rápido para fixar: se y(0)=2 então C=2^2-0^2=4 e a solução que satisfaz a condição inicial é
y(x)=+\sqrt{x^2+4},
pois escolhendo o ramo positivo garantimos y(0)=2. Se em vez disso y(0)=-3 então C=9 e a solução é y(x)=-\sqrt{x^2+9}.

Resposta

y(x)=\pm\sqrt{x^{2}+C},\quad C\in\mathbb{R}, com domínio dado por x^{2}+C\ge 0 (escolhe-se o sinal conforme a condição inicial).

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