Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis (considere valores positivos e negativos para a solução
):
Passo 1
O enunciado pede: determinar as soluções da equação diferencial dada por
. É pedido também que se considerem as soluções com
positivas e com
negativas.
Informações dadas: a equação relacione a função desconhecida e sua derivada
pela igualdade
. Não há condição inicial fornecida, então buscamos a família geral de soluções (com constante de integração).
Informações dadas: a equação relacione a função desconhecida
Passo 2
Escrevemos a derivada em forma usual e separamos as variáveis. Lembrando que
, a equação fica
Agora queremos agrupar termos em
com
e termos em
com
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Observação importante: não estamos dividindo por
aqui — apenas colocando os diferenciais de cada lado. Ainda assim vale checar o caso
: se
para todo
então
mas o lado direito é
, que não é zero para todo
. Logo
não é solução em um intervalo. (Pode haver pontos isolados com
, que vamos tratar depois.)
Passo 3
Integramos ambos os lados. Integrais básicas:
Calcule as integrais:
onde
é a constante de integração (número real arbitrário). Multiplicando por
simplificamos:
Explicação didática: integrar
dá
porque a regra
é direta; similarmente
. A constante
aparece porque integrais indefinidas têm indeterminação aditiva.
Passo 4
Isolamos
. Da relação obtida
tiramos a raiz quadrada (duas possibilidades, positiva e negativa):
Aqui o símbolo
significa que, para cada constante
fixada, existem duas funções candidateis: a de sinal positivo
e a de sinal negativo
. Em um problema com condição inicial, o sinal é escolhido de acordo com o sinal de
no ponto inicial.
Passo 5
Condições de existência (domínio): a expressão dentro da raiz deve ser não negativa, ou seja
Como
para todo
, se
então
para todo
e a solução está definida em toda a reta real. Se
então o domínio da solução será
isto é, os pontos
com
grandes o suficiente (fora do intervalo
). Em particular, para
com
temos
, definida somente para
.
Passo 6
Casos especiais e suavidade das soluções:
- Para
obtemos , isto é . As funções e (que correspondem a escolher o sinal constante igual a ou a para todos os ) são diferenciáveis em toda a reta e satisfazem a equação original. A função (ou ) troca sinal em e não é diferenciável em ; portanto não é solução clássica em todo (mas é solução em cada um dos intervalos e ). - Se existir uma condição inicial
, determina-se por e então escolhe-se o ramo ou conforme for positivo ou negativo, de modo a obter uma solução diferenciável no intervalo que contém .
Passo 7
Exemplo rápido para fixar: se
então
e a solução que satisfaz a condição inicial é
pois escolhendo o ramo positivo garantimos
. Se em vez disso
então
e a solução é
.