Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis (considere valores positivos e negativos para a solução y ):
y^{\prime}=(1-y)(2-y)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as soluções da equação diferencial de variáveis separáveis
y'=(1-y)(2-y).
Informações dadas e o que devemos entregar:
  • A equação é ordinária e autônoma: a derivada de y em função de x depende apenas de y.
  • Devemos achar todas as soluções (familia geral) e também não esquecer soluções constantes (equilíbrios) — considerar valores positivos e negativos de y.
  • Não vamos assumir nada previamente: vou separar variáveis, integrar, e resolver para y.

Passo 2

Procurar soluções constantes (equilíbrios). Se y(x)\equiv y_0 constante, então y'(x)=0 e devemos ter
0=(1-y_0)(2-y_0).
As raízes desta equação dão soluções constantes:
y_0=1 \quad\text{e}\quad y_0=2.
Portanto y(x)\equiv1 e y(x)\equiv2 são soluções da equação diferencial. Guarde isso — quando separarmos variáveis dividiremos por (1-y)(2-y), então essas soluções constantes não aparecem da divisão e precisam ser listadas à parte.

Passo 3

Separar variáveis para as soluções não-constantes. Escrevemos a derivada como \dfrac{dy}{dx}=(1-y)(2-y) e separamos:
\frac{dy}{(1-y)(2-y)}=dx.
Explicação do método: “separar variáveis” significa reorganizar a equação para ter uma função só de y multiplicando dy à esquerda e uma função só de x multiplicando dx à direita, então integrar ambos os lados. Isso é válido enquanto não dividimos por zero — por isso tratamos y=1 e y=2 como casos especiais antes.

Passo 4

Fazer frações parciais na integral do lado esquerdo. Queremos decompor
\frac{1}{(1-y)(2-y)}=\frac{A}{1-y}+\frac{B}{2-y}.
Multiplicando ambos os lados por (1-y)(2-y) obtemos
1 = A(2-y)+B(1-y).
Igualando coeficientes em função de y:
  • Coeficiente de y: -A - B = 0 \Rightarrow B=-A.
  • Constante: 2A + B = 1. Substituindo B=-A obtemos 2A - A = 1 \Rightarrow A=1. Então B=-1.
Logo
\frac{1}{(1-y)(2-y)}=\frac{1}{1-y}-\frac{1}{2-y}.

Passo 5

Integrar ambos os lados usando a decomposição. Temos
\int\left(\frac{1}{1-y}-\frac{1}{2-y}\right)dy=\int dx.
Calcule cada integral com cuidado:
  • \displaystyle \int \frac{1}{1-y}\,dy. Note que \dfrac{d}{dy}(1-y)=-1, então por substituição direta
\int \frac{1}{1-y}\,dy = -\ln|1-y|.
  • \displaystyle \int \frac{1}{2-y}\,dy. Semelhante, \dfrac{d}{dy}(2-y)=-1, então
\int \frac{1}{2-y}\,dy = -\ln|2-y|.
Portanto a integral esquerda é
-\ln|1-y| - \big(-\ln|2-y|\big) = -\ln|1-y| + \ln|2-y|.
Assim obtemos
\ln\left|\frac{2-y}{1-y}\right| = x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Eliminar o logaritmo e tratar o valor absoluto. Exponenciando ambos os lados:
\left|\frac{2-y}{1-y}\right| = e^{x+C} = e^{C}e^{x}.
Chamando K=e^{C}>0 temos \left|\dfrac{2-y}{1-y}\right|=K e^{x}. O sinal absoluto pode ser removido absorvendo o sinal em uma constante real A que pode ser positiva, negativa ou zero (veremos o caso zero separadamente). Logo podemos escrever, de forma mais simples,
\frac{2-y}{1-y} = A e^{x},
onde A é uma constante real arbitrária (podemos permitir A=0, que corresponderá ao caso y\equiv2).
Observação importante sobre domínio: se para algum x tivermos A e^{x}=1, o denominador ao resolver para y some e a expressão dá singularidade vertical (a solução explodiria). Assim a solução explícita será definida em intervalos onde A e^{x}\neq1.

Passo 7

Resolver algebricamente para y. Começando de
\frac{2-y}{1-y} = A e^{x}
multiplicamos ambos os lados por 1-y:
2-y = A e^{x}(1-y) = A e^{x} - A e^{x} y.
Agrupando termos com y:
- y + A e^{x} y = A e^{x} - 2.
Fatorando y:
y\big(A e^{x}-1\big) = A e^{x}-2.
Assumindo A e^{x}-1\neq 0 (caso já comentado), obtemos
y(x) = \frac{A e^{x}-2}{A e^{x}-1}.
Esta é a família de soluções não-constantes parametrizada pela constante real A. Lembre-se: se A=0 esta expressão dá y\equiv2; a solução y\equiv1 não é obtida por nenhum A finito nesta forma (é solução isolada).

Passo 8

Interpretando e resumindo: todas as soluções da equação diferencial são
  • as soluções constantes y(x)\equiv1 e y(x)\equiv2;
  • e a família não-constante
y(x)=\frac{A e^{x}-2}{A e^{x}-1},
com A\in\mathbb{R}. Situações a observar:
  • Se A=0 a fórmula dá y\equiv2 (já listada).
  • A fórmula não consegue representar y\equiv1; essa solução deve ser incluída separadamente.
  • Para valores de A tais que exista x com A e^{x}=1, a expressão tem divisão por zero e a solução apresenta singularidade nesse ponto — isso significa que a solução só é válida em intervalos onde A e^{x}\neq1.
  • Dependendo de A e de x, y pode assumir valores positivos ou negativos; por exemplo:
    • Se A>1 e x grande, y fica próximo de 1 (pelo limite),
    • Se A pequeno (por exemplo A=0) você obtém y=2,
    • Escolhendo A negativo você pode obter y negativos em certos x.
      Isso responde à parte “considere valores positivos e negativos para a solução y”: a constante A controla o sinal e o comportamento de y.

Resposta

\displaystyle y(x)=\frac{A e^{x}-2}{A e^{x}-1},\quad A\in\mathbb{R}\n
\displaystyle y(x)\equiv1\n
\displaystyle y(x)\equiv2

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