Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis (considere valores positivos e negativos para a solução y ):
x^{2} y^{2} y^{\prime}=1+x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}y^{2}y' = 1 + x^{2}
e pede para determinar as soluções de variáveis separáveis, considerando valores positivos e negativos para y.
Informações relevantes que temos:
  • A incógnita é y=y(x) e y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • A equação envolve produtos por x^{2} e y^{2}; portanto devemos ter x\neq 0 (pois dividir por x^{2} aparece no processo) e também y\neq 0 para que a equação seja consistente com o lado direito 1+x^{2} (se y=0 o lado esquerdo seria 0, impossível).
  • O objetivo é separar as variáveis, integrar e obter a família de soluções gerais, indicando possibilidades de sinal de y.

Passo 2

Escrevemos y'=\dfrac{dy}{dx} e isolamos para separar variáveis. Começamos dividindo ambos os lados por x^{2}y^{2} (lembrando x\neq 0 e y\neq 0):
\frac{dy}{dx} = \frac{1+x^{2}}{x^{2}y^{2}}.
Agora multiplicamos ambos os lados por y^{2} e por dx para separar:
y^{2}\,dy = \frac{1+x^{2}}{x^{2}}\,dx.
Observação de simplificação do lado direito:
\frac{1+x^{2}}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + 1.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Vou explicar como integrar cada lado:
  • Para a integral do lado esquerdo usamos a regra de potência: \displaystyle\int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} + C (para n\neq -1). Aqui n=2, então \displaystyle\int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3}.
  • Para o lado direito integramos termo a termo: \displaystyle\int \left(x^{-2}+1\right)\,dx = \int x^{-2}\,dx + \int 1\,dx. A integral de x^{-2} é -x^{-1} porque a regra de potência dá \int x^{m}dx = x^{m+1}/(m+1) e aqui m=-2. A integral de 1 é x.
Assim, integrando:
\int y^{2}\,dy = \int \left(x^{-2}+1\right)\,dx
\frac{y^{3}}{3} = -\frac{1}{x} + x + C,
onde C é a constante de integração (real).

Passo 4

Multiplicamos por 3 para simplificar a expressão:
y^{3} = 3x - \frac{3}{x} + C_{1},
onde C_{1}=3C é uma constante arbitrária real. Esta é a forma implícita da família de soluções.

Passo 5

Para obter y explicitamente, tomamos a raiz cúbica (a função cúbica é bijetora em \mathbb{R}, então há uma única raiz real para cada valor do membro direito). Isso nos dá
y(x) = \left(3x - \frac{3}{x} + C_{1}\right)^{1/3}.
Como o enunciado pede para considerar valores positivos e negativos para y, podemos escrever também a forma com sinal explícito:
y(x) = \pm\left|3x - \frac{3}{x} + C_{1}\right|^{1/3}.
Observações importantes sobre domínio e sinais:
  • O ponto x=0 não pertence ao domínio de nenhuma solução (a equação original e a separação exigem x\neq 0).
  • A solução não pode tomar o valor y=0 em nenhum ponto do domínio, porque se em algum x_{0} tivéssemos y(x_{0})=0 a equação original daria 0 = 1+x_{0}^{2}, contradizendo-se. Portanto, ao escolher C_{1} devemos trabalhar em intervalos onde 3x - \dfrac{3}{x} + C_{1}\neq 0; se a expressão for zero em algum ponto, essa solução não é aceita como solução da equação original naquele ponto.
  • A escrita com \pm apenas explicita que, sobre um intervalo onde a expressão dentro da raiz cúbica mantém sinal fixo, podemos escolher a raiz cúbica positiva ou negativa conforme inicialização; na prática a raiz cúbica real de um número negativo já é negativa, então a forma sem \pm é suficiente para a solução real única dada C_{1}, mas incluímos \pm para atender ao pedido de considerar sinais.

Resposta

y(x)=\left(3x-\dfrac{3}{x}+C\right)^{1/3}
y(x)=-\left(3x-\dfrac{3}{x}+C\right)^{1/3}

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