Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis (considere valores positivos e negativos para a solução
):
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para determinar as soluções de variáveis separáveis, considerando valores positivos e negativos para
.
Informações relevantes que temos:
- A incógnita é
e . - A equação envolve produtos por
e ; portanto devemos ter (pois dividir por aparece no processo) e também para que a equação seja consistente com o lado direito (se o lado esquerdo seria , impossível). - O objetivo é separar as variáveis, integrar e obter a família de soluções gerais, indicando possibilidades de sinal de
.
Passo 2
Escrevemos
e isolamos para separar variáveis. Começamos dividindo ambos os lados por
(lembrando
e
):
Agora multiplicamos ambos os lados por
e por
para separar:
Observação de simplificação do lado direito:
Passo 3
Agora integramos ambos os lados. Vou explicar como integrar cada lado:
- Para a integral do lado esquerdo usamos a regra de potência:
(para ). Aqui , então . - Para o lado direito integramos termo a termo:
. A integral de é porque a regra de potência dá e aqui . A integral de é .
Assim, integrando:
dá
onde
é a constante de integração (real).
Passo 4
Multiplicamos por
para simplificar a expressão:
onde
é uma constante arbitrária real. Esta é a forma implícita da família de soluções.
Passo 5
Para obter
explicitamente, tomamos a raiz cúbica (a função cúbica é bijetora em
, então há uma única raiz real para cada valor do membro direito). Isso nos dá
Como o enunciado pede para considerar valores positivos e negativos para
, podemos escrever também a forma com sinal explícito:
Observações importantes sobre domínio e sinais:
- O ponto
não pertence ao domínio de nenhuma solução (a equação original e a separação exigem ). - A solução não pode tomar o valor
em nenhum ponto do domínio, porque se em algum tivéssemos a equação original daria , contradizendo-se. Portanto, ao escolher devemos trabalhar em intervalos onde ; se a expressão for zero em algum ponto, essa solução não é aceita como solução da equação original naquele ponto. - A escrita com
apenas explicita que, sobre um intervalo onde a expressão dentro da raiz cúbica mantém sinal fixo, podemos escolher a raiz cúbica positiva ou negativa conforme inicialização; na prática a raiz cúbica real de um número negativo já é negativa, então a forma sem é suficiente para a solução real única dada , mas incluímos para atender ao pedido de considerar sinais.