Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis (considere valores positivos e negativos para a solução
):
Passo 1
O enunciado pede: determinar as soluções da equação diferencial
considerando possibilidades de
positivas e negativas. Informações dadas:
- A equação relaciona a derivada de
com e através de uma exponencial. - A incógnita é a função
. - É pedido obter a família geral de soluções (com uma constante arbitrária) e observar como
pode ser positiva ou negativa conforme a constante e .
Passo 2
Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
. Escrevemos a derivada como razão:
Usando propriedades de exponenciais,
. Assim temos
A ideia de separação de variáveis é colocar todos os termos com
multiplicando
de um lado e todos os termos com
multiplicando
do outro.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
e por
para separar as variáveis:
Isto é válido pois
é sempre positivo e não anula a equação. Agora cada lado depende só de uma variável, pronto para integrar.
Passo 4
Integramos ambos os lados:
Para a integral da esquerda usamos a regra
. Aqui
. Então
onde
é a constante de integração (obtida combinando as constantes das duas integrais).
Passo 5
Multiplicando por
obtemos
onde
é outra constante arbitrária real. Agora isolamos
. Tomando logaritmo natural (lembrando que o log só está definido para argumento positivo),
Portanto a família geral de soluções é
com a condição de domínio
para que o logaritmo seja real.
Passo 6
Explico o que significa essa constante e como
pode ser positiva ou negativa. A constante
define a forma e o domínio da solução:
- Se
, então para todo e a solução está definida em toda reta real. - Se
, existe um ponto tal que a solução só está definida para (pois para o argumento do seria não positivo).
Quanto ao sinal de
: não há um “
” extra — a expressão
já pode assumir valores positivos ou negativos dependendo do valor de
. Exemplos rápidos:
- Se
, então , que é negativa para e positiva para . - Se
é grande e positiva, tende a ser positiva. - Se
é negativo e próximo de em certo , pode ficar negativo naquele intervalo do domínio.
Observação: não existe solução constante
porque
nunca ocorre (pois
para todos
), então não há solução estacionária.
Passo 7
Verificação rápida por derivação (confirmação): tomando
,
Por outro lado,
logo a expressão encontrada satisfaz a equação diferencial, como esperado.