Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis (considere valores positivos e negativos para a solução y ):
y^{\prime}=e^{x-2 y}

Passo 1

O enunciado pede: determinar as soluções da equação diferencial
y' = e^{x-2y},
considerando possibilidades de y positivas e negativas. Informações dadas:
  • A equação relaciona a derivada de y com x e y através de uma exponencial.
  • A incógnita é a função y(x).
  • É pedido obter a família geral de soluções (com uma constante arbitrária) e observar como y pode ser positiva ou negativa conforme a constante e x.

Passo 2

Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis x e y. Escrevemos a derivada como razão:
\frac{dy}{dx}=e^{x-2y}.
Usando propriedades de exponenciais, e^{x-2y}=e^{x}\,e^{-2y}. Assim temos
\frac{dy}{dx}=e^{x}\,e^{-2y}.
A ideia de separação de variáveis é colocar todos os termos com y multiplicando dy de um lado e todos os termos com x multiplicando dx do outro.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por e^{2y} e por dx para separar as variáveis:
e^{2y}\,dy = e^{x}\,dx.
Isto é válido pois e^{2y} é sempre positivo e não anula a equação. Agora cada lado depende só de uma variável, pronto para integrar.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int e^{2y}\,dy = \int e^{x}\,dx.
Para a integral da esquerda usamos a regra \int e^{a y}\,dy = \frac{1}{a}e^{a y}+C. Aqui a=2. Então
\frac{1}{2}e^{2y} = e^{x} + C,
onde C é a constante de integração (obtida combinando as constantes das duas integrais).

Passo 5

Multiplicando por 2 obtemos
e^{2y} = 2e^{x} + C_1,
onde C_1=2C é outra constante arbitrária real. Agora isolamos y. Tomando logaritmo natural (lembrando que o log só está definido para argumento positivo),
2y = \ln\bigl(2e^{x} + C_1\bigr).
Portanto a família geral de soluções é
y(x)=\frac{1}{2}\ln\bigl(2e^{x} + C_1\bigr),
com a condição de domínio
2e^{x} + C_1 > 0,
para que o logaritmo seja real.

Passo 6

Explico o que significa essa constante e como y pode ser positiva ou negativa. A constante C_1\in\mathbb{R} define a forma e o domínio da solução:
  • Se C_1\ge 0, então 2e^{x}+C_1>0 para todo x\in\mathbb{R} e a solução está definida em toda reta real.
  • Se C_1<0, existe um ponto x_0=\ln\bigl(-C_1/2\bigr) tal que a solução só está definida para x>x_0 (pois para x\le x_0 o argumento do \ln seria não positivo).
Quanto ao sinal de y: não há um “ \pm” extra — a expressão y(x)=\tfrac12\ln(\cdot) já pode assumir valores positivos ou negativos dependendo do valor de 2e^{x}+C_1. Exemplos rápidos:
  • Se C_1=0, então y(x)=\tfrac12(\ln 2 + x), que é negativa para x<-\ln 2 e positiva para x>-\ln 2.
  • Se C_1 é grande e positiva, y(x) tende a ser positiva.
  • Se C_1 é negativo e próximo de -2e^{x} em certo x, y(x) pode ficar negativo naquele intervalo do domínio.
Observação: não existe solução constante y(x)\equiv y_0 porque y'=0 nunca ocorre (pois e^{x-2y}>0 para todos x,y), então não há solução estacionária.

Passo 7

Verificação rápida por derivação (confirmação): tomando y(x)=\tfrac12\ln(2e^{x}+C_1),
y'(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2e^{x}}{2e^{x}+C_1}=\frac{e^{x}}{2e^{x}+C_1}.
Por outro lado,
e^{x-2y}=e^{x-\ln(2e^{x}+C_1)}=\frac{e^{x}}{2e^{x}+C_1},
logo a expressão encontrada satisfaz a equação diferencial, como esperado.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{2}\ln\bigl(2e^{x}+C\bigr),\quad\text{com }C\in\mathbb{R}\text{ e }2e^{x}+C>0.

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