Determine as soluções das equações diferenciais exatas:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as soluções gerais da equação diferencial dada. As informações fornecidas são a equação diferencial na forma de diferencial total
Lista objetiva do que temos:
- A equação está escrita no formato
. - Aqui
e . - O objetivo é encontrar a relação entre
e que satisfaça essa equação (a solução geral, normalmente uma constante ).
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): se existe uma função potencial
tal que
então
e
, e a solução geral da equação é
. Isso acontece porque
implica
constante ao longo das curvas solução.
Para que
exista (isto é, para que a forma seja exata), precisamos da condição de compatibilidade entre
e
:
Vou calcular essas derivadas e verificar se a equação é exata.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais:
Como
, a condição de exatidão está satisfeita — a equação é exata. Ótimo: existe uma função potencial
com
e
.
Passo 4
Vamos encontrar
. Começo usando
. Integro isso em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma “constante” de integração em relação a
(pode depender de
).
Explicando: ao integrar
em
recuperamos
até uma função que depende só de
, porque a derivada parcial em
de qualquer função que dependa apenas de
é zero.
Passo 5
Agora usamos a condição
. Diferencio a expressão encontrada para
em relação a
:
Mas sabemos que
deve ser igual a
. Assim:
Logo
é constante:
. Portanto
Passo 6
A solução geral é dada por
. Podemos escrever
onde
é uma constante arbitrária (absorvi
no lado direito). Multiplicando por
para simplificar a aparência:
onde
é outra constante arbitrária. Essa é a família de curvas que resolve a equação diferencial.
Passo 7
Verificação rápida (para você ganhar confiança): se definirmos
, então
que é exatamente a forma dada. Assim
constante é solução correta.