Determine as soluções das equações diferenciais exatas:
(x+y) d x+x d y=0 x^{2}+2 x y=C

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as soluções gerais da equação diferencial dada. As informações fornecidas são a equação diferencial na forma de diferencial total
(x+y)\,dx + x\,dy = 0.
Lista objetiva do que temos:
  • A equação está escrita no formato M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.
  • Aqui M(x,y)=x+y e N(x,y)=x.
  • O objetivo é encontrar a relação entre x e y que satisfaça essa equação (a solução geral, normalmente uma constante C).

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): se existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que
d\varphi = \phi_x\,dx + \phi_y\,dy = M\,dx + N\,dy,
então \phi_x=M e \phi_y=N, e a solução geral da equação é \varphi(x,y)=\text{constante}. Isso acontece porque d\varphi=0 implica \varphi constante ao longo das curvas solução.
Para que \varphi exista (isto é, para que a forma seja exata), precisamos da condição de compatibilidade entre M e N:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Vou calcular essas derivadas e verificar se a equação é exata.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x+y)=1,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x)=1.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=1, a condição de exatidão está satisfeita — a equação é exata. Ótimo: existe uma função potencial \varphi(x,y) com \phi_x=M e \phi_y=N.

Passo 4

Vamos encontrar \varphi(x,y). Começo usando \phi_x=M=x+y. Integro isso em relação a x, tratando y como constante:
\varphi(x,y)=\int (x+y)\,dx = \int x\,dx + \int y\,dx = \frac{1}{2}x^2 + x y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração em relação a x (pode depender de y).
Explicando: ao integrar \phi_x em x recuperamos \varphi até uma função que depende só de y, porque a derivada parcial em x de qualquer função que dependa apenas de y é zero.

Passo 5

Agora usamos a condição \phi_y=N. Diferencio a expressão encontrada para \varphi em relação a y:
\phi_y = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{2}x^2 + x y + h(y)\right) = x + h'(y).
Mas sabemos que \phi_y deve ser igual a N(x,y)=x. Assim:
x + h'(y) = x \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=0.
Logo h(y) é constante: h(y)=C_0. Portanto
\varphi(x,y)=\frac{1}{2}x^2 + x y + C_0.

Passo 6

A solução geral é dada por \varphi(x,y)=\text{constante}. Podemos escrever
\frac{1}{2}x^2 + x y = C,
onde C é uma constante arbitrária (absorvi C_0 no lado direito). Multiplicando por 2 para simplificar a aparência:
x^2 + 2 x y = C',
onde C'=2C é outra constante arbitrária. Essa é a família de curvas que resolve a equação diferencial.

Passo 7

Verificação rápida (para você ganhar confiança): se definirmos \varphi(x,y)=\tfrac{1}{2}x^2+xy, então
d\varphi = (x+y)\,dx + x\,dy,
que é exatamente a forma dada. Assim \varphi=constante é solução correta.

Resposta

x^{2}+2 x y=C

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