Determine as soluções inteiras das equações abaixo:
90 x-28 y=22

Passo 1

O enunciado pede para determinar todas as soluções inteiras da equação
90x - 28y = 22.
O conteúdo aqui é resolução de equação diofantina linear, e vamos precisar do cálculo de \gcd, de dividir a equação pelo máximo divisor comum, e de encontrar uma solução particular usando congruências.

Passo 2

Calculamos o máximo divisor comum de 90 e 28 pelo algoritmo de Euclides:
90=28\cdot 3+628=6\cdot 4+46=4\cdot 1+24=2\cdot 2+0
Logo \gcd(90,28)=2.

Passo 3

Como 2 divide 22, dividimos a equação por 2:
45x - 14y = 11.

Passo 4

Para achar uma solução particular, resolvemos a congruência
45x \equiv 11 \pmod{14}.
Note que 45\equiv3\pmod{14}, então
3x \equiv 11 \pmod{14}.
O inverso de 3 módulo 14 é 5 (pois 3\cdot5=15\equiv1\pmod{14}), logo
x \equiv 5\cdot11 = 55 \equiv 13 \pmod{14}.

Passo 5

Portanto uma solução é x_0 = 13. Para obter y, substituímos em
45x - 14y = 11
e isolamos y:
14y = 45x - 11 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{45x - 11}{14}.
Com x=13 vem
y = \frac{45\cdot13 - 11}{14} = \frac{585 - 11}{14} = \frac{574}{14} = 41.

Passo 6

A solução geral de uma equação diofantina vem adicionando ao par (x_0,y_0)=(13,41) múltiplos de
\displaystyle \bigl(\tfrac{b}{d},\tfrac{a}{d}\bigr)=(14,45) com d=2. Assim
x = 13 + 14k, \quad y = 41 + 45k, \quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

x = 13 + 14k,\quad y = 41 + 45k,\quad k\in\mathbb{Z}.

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