Determine soluções para as seguintes EDOs de segunda ordem e proponha valores iniciais que determinem unicamente a solução.
y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-y=x

Passo 1

O enunciado fornece a equação
y^{\prime\prime\prime}-3y^{\prime\prime}+3y^{\prime}-y = x
e pede que eu determine as soluções e proponha valores iniciais que determinem unicamente a solução. Observação importante (apenas factual): a equação contém a derivada de terceira ordem y^{\prime\prime\prime}, portanto é uma EDO de ordem 3 — por isso serão necessárias três condições iniciais para fixar a solução. As informações relevantes são: o lado esquerdo é linear com coeficientes constantes e o lado direito é o polinômio x.

Passo 2

Vou primeiro achar a solução geral da equação homogênea associada. A equação homogênea é
y^{\prime\prime\prime}-3y^{\prime\prime}+3y^{\prime}-y = 0.
Para EDOs lineares com coeficientes constantes usamos a técnica do polinômio característico: substituímos y\mapsto e^{rx} e obtemos o polinômio característico em r:
r^{3}-3r^{2}+3r-1 = 0.
Agora explico: o polinômio característico é obtido aplicando D (derivação) por e^{rx} e reconhecendo que D age como multiplicação por r em e^{rx}. Então as raízes de r dão as exponenciais que formam a solução homogênea.

Passo 3

Fatoramos o polinômio característico. Note que é o desenvolvimento de (r-1)^3:
r^{3}-3r^{2}+3r-1 = (r-1)^3.
Logo r=1 é raiz de multiplicidade 3. Para uma raiz r=1 de multiplicidade 3, as soluções independentes associadas são
e^{x},\quad x e^{x},\quad x^{2} e^{x}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=e^{x}\big(C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}\big),
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora procuro uma solução particular y_{p} da equação não homogênea. O lado direito é x, um polinômio de grau 1. Pelo método dos coeficientes não determinados: quando o termo for um polinômio P_{n}(x) multiplicado por e^{ax}, a tentativa padrão é tomar y_{p} como um polinômio de grau n vezes e^{ax}, exceto quando a é raiz do polinômio característico — nesse caso multiplicamos por uma potência de x igual à multiplicidade. Aqui o termo é x = P_{1}(x) com a=0. A raiz r=0 NÃO é raiz do característico (a raiz é 1), logo não há ressonância. Assim tento
y_{p}(x)=Ax+B,
com A,B constantes a determinar.

Passo 5

Calculo as derivadas de y_{p} e substituo na EDO:
y_{p}' = A,\qquad y_{p}''=0,\qquad y_{p}'''=0.
Substituindo em \;y^{\prime\prime\prime}-3y^{\prime\prime}+3y^{\prime}-y=x\; obtemos
0 - 3\cdot 0 + 3A - (Ax+B) = x.
Ou seja,
3A - Ax - B = x.
Igualando coeficientes do polinômio em x: coeficiente de x -A = 1 e termo constante dá 3A - B = 0. Assim
A = -1,\qquad B = 3A = -3.
Portanto
y_{p}(x) = -x - 3.

Passo 6

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_{h}(x) + y_{p}(x) = e^{x}\big(C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}\big) - x - 3.
Isto significa que temos três constantes C_{1},C_{2},C_{3} a ajustar por condições iniciais.

Passo 7

Agora explico quais e quantas condições iniciais são necessárias para determinar unicamente a solução: para uma EDO de ordem [n) precisamos de n condições (por exemplo valores de y e de suas derivadas até ordem n-1 num ponto x_{0}). Como aqui a ordem é 3, precisamos de três condições. Uma escolha natural é dar y, y' e y'' em um mesmo ponto (por exemplo x_{0}=0). Vou mostrar explicitamente como essas três condições determinam C_{1},C_{2},C_{3}.
Calculo y,y',y'' e avalio em x=0. Já temos
y(x)=e^{x}(C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2})-x-3.
Derivando (mostro as expressões avaliadas em 0 porque é o suficiente para resolver as constantes):
y(0)=C_{1}-3,
y'(x)=e^{x}\big((C_{1}+C_{2})+(C_{2}+2C_{3})x + C_{3}x^{2}\big)-1,
logo
y'(0)=C_{1}+C_{2}-1,
y''(x)=e^{x}\big((C_{1}+2C_{2}+2C_{3})+(2C_{2}+4C_{3})x + C_{3}x^{2}\big),
logo
y''(0)=C_{1}+2C_{2}+2C_{3}.
Se damos as condições
y(0)=y_{0},\qquad y'(0)=y_{1},\qquad y''(0)=y_{2},
obtém-se o sistema linear para C_{1},C_{2},C_{3}:
\begin{cases} C_{1}-3 = y_{0},\\[4pt] C_{1}+C_{2}-1 = y_{1},\\[4pt] C_{1}+2C_{2}+2C_{3} = y_{2}. \end{cases}
Resolve-se por substituição:
C_{1}=y_{0}+3,
C_{2}=y_{1}+1 - C_{1} = y_{1}-y_{0}-2,
C_{3}=\dfrac{y_{2}-C_{1}-2C_{2}}{2}=\dfrac{y_{2}+y_{0}-2y_{1}+1}{2}.
Essas fórmulas mostram que qualquer tripla \big(y(0),y'(0),y''(0)\big)=(y_{0},y_{1},y_{2})\] determina de forma única \(C_{1},C_{2},C_{3}, logo determina unicamente a solução.]

Passo 8

Como exemplo concreto (para dar confiança), se escolhermos as condições iniciais simples
y(0)=0,\qquad y'(0)=0,\qquad y''(0)=0,
então
C_{1}=0+3=3,\quad C_{2}=0-0-2=-2,\quad C_{3}=\frac{0+0-0+1}{2}=\tfrac{1}{2},
e a solução única correspondente é
y(x)=e^{x}\Big(3-2x+\tfrac{1}{2}x^{2}\Big)-x-3.

Resposta

y(x)=e^{x}\big(C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}\big)-x-3\n
Valores iniciais que determinam unicamente a solução (exemplo): y(0)=y_{0},\;y'(0)=y_{1},\;y''(0)=y_{2} (essas três condições fixam unicamente C_{1},C_{2},C_{3} conforme C_{1}=y_{0}+3,\;C_{2}=y_{1}-y_{0}-2,\;C_{3}=(y_{2}+y_{0}-2y_{1}+1)/2).

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