Determine soluções para as seguintes EDOs de segunda ordem e proponha valores iniciais que determinem unicamente a solução.
Passo 1
O enunciado fornece a equação
e pede que eu determine as soluções e proponha valores iniciais que determinem unicamente a solução. Observação importante (apenas factual): a equação contém a derivada de terceira ordem
, portanto é uma EDO de ordem
— por isso serão necessárias três condições iniciais para fixar a solução. As informações relevantes são: o lado esquerdo é linear com coeficientes constantes e o lado direito é o polinômio
.
Passo 2
Vou primeiro achar a solução geral da equação homogênea associada. A equação homogênea é
Para EDOs lineares com coeficientes constantes usamos a técnica do polinômio característico: substituímos
e obtemos o polinômio característico em
:
Agora explico: o polinômio característico é obtido aplicando
(derivação) por
e reconhecendo que
age como multiplicação por
em
. Então as raízes de
dão as exponenciais que formam a solução homogênea.
Passo 3
Fatoramos o polinômio característico. Note que é o desenvolvimento de
:
Logo
é raiz de multiplicidade
. Para uma raiz
de multiplicidade
, as soluções independentes associadas são
Portanto a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora procuro uma solução particular
da equação não homogênea. O lado direito é
, um polinômio de grau
. Pelo método dos coeficientes não determinados: quando o termo for um polinômio
multiplicado por
, a tentativa padrão é tomar
como um polinômio de grau
vezes
, exceto quando
é raiz do polinômio característico — nesse caso multiplicamos por uma potência de
igual à multiplicidade. Aqui o termo é
com
. A raiz
NÃO é raiz do característico (a raiz é
), logo não há ressonância. Assim tento
com
constantes a determinar.
Passo 5
Calculo as derivadas de
e substituo na EDO:
Substituindo em
obtemos
Ou seja,
Igualando coeficientes do polinômio em
: coeficiente de
dá
e termo constante dá
. Assim
Portanto
Passo 6
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
Isto significa que temos três constantes
a ajustar por condições iniciais.
Passo 7
Agora explico quais e quantas condições iniciais são necessárias para determinar unicamente a solução: para uma EDO de ordem [n) precisamos de
condições (por exemplo valores de
e de suas derivadas até ordem
num ponto
). Como aqui a ordem é
, precisamos de três condições. Uma escolha natural é dar
,
e
em um mesmo ponto (por exemplo
). Vou mostrar explicitamente como essas três condições determinam
.
Calculo
e avalio em
. Já temos
Derivando (mostro as expressões avaliadas em
porque é o suficiente para resolver as constantes):
logo
logo
Se damos as condições
obtém-se o sistema linear para
:
Resolve-se por substituição:
Essas fórmulas mostram que qualquer tripla
, logo determina unicamente a solução.]
Passo 8
Como exemplo concreto (para dar confiança), se escolhermos as condições iniciais simples
então
e a solução única correspondente é
Resposta
Valores iniciais que determinam unicamente a solução (exemplo):