Determine as soluções para as seguintes equações:
tan x=cos x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação trigonométrica
tan x = cos x.
O conteúdo envolvido é uso da definição de tangente em termos de seno e cosseno e manipulação algébrica de identidades trigonométricas.

Passo 2

Usando a identidade tan x = dfracsin xcos x (com cos xneq0), reescrevemos
dfracsin xcos x = cos x
e multiplicamos por cos x para obter
sin x = cos^2 x

Passo 3

Substituímos cos^2 x = 1 - sin^2 x e chamamos sin x = s. Isso rende a equação quadrática
s = 1 - s^2 Longrightarrow s^2 + s - 1 = 0
Resolvendo em s:
s = -1 pm raiz1 + 42 = -1 pm raiz52

Passo 4

Dos dois valores, apenas
sin x = raiz5 - 12
está no intervalo [-1,1]. Portanto as soluções gerais são
x = arcsin!l(tfracraiz5 - 12r) + 2pi n ou x = pi - arcsin!l(tfracraiz5 - 12r) + 2pi n,
com nin Z.

Passo 5

Verificamos que cos xneq0 nessas soluções, pois sin x=tfracraiz5-12approx0,618 cos x=pmraiz1-sin^2xneq0. Logo não há raízes extraviadas.

Resposta

x = arcsin!l(tfracraiz5 - 12r) + 2pi n ou
x = pi - arcsin!l(tfracraiz5 - 12r) + 2pi n,
com nin Z.

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