Determine a soma das medidas dos ângulos internos dos seguintes polígonos:
a) quadrilátero.
a) quadrilátero.
Passo 1
O enunciado pede: “Determine a soma das medidas dos ângulos internos do polígono dado”. O polígono indicado é um quadrilátero. Informações relevantes fornecidas:
- Temos um polígono com quatro lados (um quadrilátero).
- A pergunta é: qual é a soma das medidas dos ângulos internos desse quadrilátero?
Passo 2
Antes de calcular, vamos entender o que é a “soma dos ângulos internos” de um polígono. Cada vértice do polígono tem um ângulo interno; a soma que queremos é a soma desses ângulos em todos os vértices. Para calcular essa soma usamos uma ideia muito prática: dividir o polígono em triângulos, porque a soma dos ângulos internos de um triângulo é um valor conhecido e fixo.
Passo 3
Vamos lembrar (e entender por que) que a soma dos ângulos internos de um triângulo é
. Intuição e prova rápida: pegue um triângulo qualquer
. Pelo vértice
trace uma reta paralela à base
. Os ângulos formados pelo lado
e pela reta paralela são ângulos alternos internos com o ângulo em
; os formados por
e a reta paralela são alternos com o ângulo em
. Assim os três ângulos do triângulo
,
e
se alinham em uma linha reta e somam
. Portanto:
Passo 4
Agora a ideia geral: se conseguimos dividir um polígono em vários triângulos não sobrepostos, a soma dos ângulos internos do polígono será a soma das somas dos ângulos desses triângulos. Para um polígono convexo com
lados, ao escolher um vértice e traçar diagonais para os demais vértices não adjacentes, obtemos exatamente
triângulos. Cada triângulo contribui com
. Assim surge a fórmula geral:
onde
é o número de lados do polígono.
Passo 5
No nosso caso o polígono é um quadrilátero, então
. Aplicando a fórmula:
Passo 6
Calculemos passo a passo:
logo
Passo 7
Chegamos ao resultado e vale fazer uma checagem rápida por um exemplo concreto: um retângulo tem quatro ângulos de
. Somando
obtemos
, consistente com o que encontramos. Então o resultado está coerente.