(5.) Utilize uma máquina de ponto flutuante do tipo F(10,3,-99,99) para resolver o seguinte sistema de equações lineares.
\left\{\begin{array}{rll} 0,003 x_{1}+79 x_{2} & = & 20 \\\\ 85 x_{1}+x_{2} & = & 15 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear usando uma máquina de ponto flutuante do tipo F(10,3,-99,99). O sistema é
\left\{\begin{array}{rll} 0,003\,x_{1}+79\,x_{2} & = & 20\\[4pt] 85\,x_{1}+x_{2} & = & 15 \end{array}\right.
Informações relevantes fornecidas:
\text{máquina: }F(10,3,-99,99)\quad(\text{base }10,\\\ 3\text{ dígitos significativos},\\ \text{expoentes entre }-99\text{ e }99).áí
A tarefa é efetuar os cálculos levando em conta a representação e o arredondamento da máquina.]

Passo 2

Explicação do formato e das regras que vou usar (muito importante para entender cada passo):
  • Em F(10,3,-99,99) cada número é armazenado em notação científica com 3 dígitos significativos, isto é um mantissa com 3 algarismos não nulos (por exemplo 3{,}00\times10^{-3}) e um expoente dentro do intervalo permitido.
  • Vou usar arredondamento para mais próximo (arredondamento para o valor com 3 dígitos significativos).
  • Depois de cada operação aritmética relevante (divisão, multiplicação, soma/subtração) assumimos que o resultado é imediatamente arredondado para 3 dígitos significativos antes de ser usado novamente.
  • Primeiro converto os coeficientes e termos independentes para a forma da máquina: 0,003 = 3{,}00\times10^{-3},\quad 79 = 7{,}90\times10^{1},\quad 85 = 8{,}50\times10^{1},
20 = 2{,}00\times10^{1},\quad 15 = 1{,}50\times10^{1}.

Passo 3

Escolha do método: vou usar eliminação de Gauss com troca de linhas (pivotamento parcial). Justificativa curta (sem muita linguagem técnica): o pivô 0{,}003 é muito pequeno em relação a 85 e 79; se eliminarmos sem trocar linhas a divisão por um pivô tão pequeno vai gerar números muito pequenos e imprecisos. Trocar linhas para ter um pivô grande (a linha com 85) é simples e mais estável. Portanto trocamos a ordem das equações.

Passo 4

Depois de aplicar pivotamento (trocar linha 1 com linha 2) o sistema (matriz aumentada) fica:
\begin{array}{rcl} 85\,x_1 + 1\,x_2 & = & 15\\[4pt] 0{,}003\,x_1 + 79\,x_2 & = & 20 \end{array}
em representação da máquina:
\begin{array}{rcl} 8{,}50\times10^{1}\,x_1 + 1{,}00\times10^{0}\,x_2 & = & 1{,}50\times10^{1}\\[4pt] 3{,}00\times10^{-3}\,x_1 + 7{,}90\times10^{1}\,x_2 & = & 2{,}00\times10^{1} \end{array}]

Passo 5

Eliminação: calculo o multiplicador m para zerar a primeira coluna da segunda linha:
m = \frac{0{,}003}{85}.
Faço a divisão em notação da máquina:
\frac{3{,}00\times10^{-3}}{8{,}50\times10^{1}} = \frac{3{,}00}{8{,}50}\times10^{-4}.
Calculemos \frac{3{,}00}{8{,}50}=0{,}352941176\ldots. Arredondando a 3 dígitos significativos obtemos
m = 3{,}53\times10^{-5}.

Passo 6

Multiplico m pelos elementos da primeira linha (todos os resultados são arredondados para 3 dígitos):
  • m\cdot85:
(3{,}53\times10^{-5})\cdot(8{,}50\times10^{1}) = (3{,}53\cdot8{,}50)\times10^{-4} = 30{,}005\times10^{-4} = 3{,}0005\times10^{-3}.
Arredondando para 3 dígitos significativos dá
m\cdot85 = 3{,}00\times10^{-3}.
  • m\cdot1:
(3{,}53\times10^{-5})\cdot(1{,}00\times10^{0}) = 3{,}53\times10^{-5}
(tem já 3 dígitos, permanece 3{,}53\times10^{-5}).
  • m\cdot15:
(3{,}53\times10^{-5})\cdot(1{,}50\times10^{1}) = (3{,}53\cdot1{,}50)\times10^{-4}=5{,}295\times10^{-4}.
Arredondando a 3 dígitos significativos:
m\cdot15 = 5{,}30\times10^{-4}.

Passo 7

Atualizo a segunda linha: linha2 := linha2 − m·linha1 (cada subtração é feita e então arredondada a 3 dígitos):
  • Coeficiente de x_1:
0{,}003 - (m\cdot85) = 3{,}00\times10^{-3} - 3{,}00\times10^{-3} = 0.
  • Coeficiente de x_2:
79 - (m\cdot1) = 7{,}90\times10^{1} - 3{,}53\times10^{-5} \approx 78{,}9999647\ldots
Arredondando a 3 dígitos significativos volta para
7{,}90\times10^{1}\quad(\text{ou seja }79{,}0).
(isto acontece porque a diferença é muito pequena para afetar os 3 dígitos significativos de 79.)
  • Termo independente:
20 - (m\cdot15) = 2{,}00\times10^{1} - 5{,}30\times10^{-4} \approx 19{,}99947\ldots
Arredondando a 3 dígitos significativos resulta em
2{,}00\times10^{1}\quad(\text{ou seja }20{,}0).
Portanto, após a eliminação a segunda equação na máquina fica
79\,x_2 = 20.

Passo 8

Agora o sistema triangular na máquina é
\begin{array}{rcl} 85\,x_1 + 1\,x_2 & = & 15\\[4pt] 79\,x_2 & = & 20 \end{array}
Resolvemos por substituição: primeiro
x_2 = \frac{20}{79}.
Na máquina:
\frac{2{,}00\times10^{1}}{7{,}90\times10^{1}} = \frac{2{,}00}{7{,}90}=0{,}253164556\ldots
Arredondando para 3 dígitos significativos:
x_2 = 2{,}53\times10^{-1}\quad(\text{ou seja }0{,}253).]

Passo 9

Agora calculo x_1 pela primeira equação:
x_1 = \frac{15 - x_2}{85}.
Faço a subtração e a divisão na máquina passo a passo:
  • Subtração:
15 - x_2 = 1{,}50\times10^{1} - 2{,}53\times10^{-1} = 15{,}000 - 0{,}253 = 14{,}747.
Arredondando a 3 dígitos significativos:
15 - x_2 \approx 1{,}47\times10^{1}\quad(\text{ou seja }14{,}7).
  • Divisão:
x_1 = \frac{1{,}47\times10^{1}}{8{,}50\times10^{1}} = \frac{1{,}47}{8{,}50}=0{,}172941176\ldots
Arredondando a 3 dígitos significativos:
x_1 = 1{,}73\times10^{-1}\quad(\text{ou seja }0{,}173).

Passo 10

Breve verificação (apenas para dar confiança): multiplicações somas com arredondamento grosseiro da máquina dão aproximações próximas aos termos originais; o resultado final na máquina é consistente com as equações triangulares obtidas.

Resposta

x_1 = 0{,}173
x_2 = 0{,}253

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