Verifique, usando o critério das linhas, que o sistema abaixo, na forma em que se encontra, não é convergente pelo método de Gauss-Jacobi. Troque linhas e colunas de forma que convirja.
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+x_{2}+4 x_{3}=9 \\\\ 5 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=1 \\\ x_{1}+5 x_{2}+3 x_{3}=3 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+x_{2}+4 x_{3}=9 \\[4pt] 5 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=1 \\[4pt] x_{1}+5 x_{2}+3 x_{3}=3 \end{array}\right.
e pede duas coisas: (i) verificar, usando o critério das linhas, que o sistema, na forma dada, não é convergente pelo método de Gauss–Jacobi; (ii) trocar linhas e/ou colunas de modo que o sistema resultante seja convergente pelo método de Gauss–Jacobi. As informações relevantes são os coeficientes das equações (a matriz dos coeficientes) e o vetor de termos independentes.]

Passo 2

Primeiro preciso explicar o critério que vamos usar (a aula rápida e prática): o método de Gauss–Jacobi converge para qualquer condição inicial se a matriz dos coeficientes for estritamente diagonalmente dominante por linhas. Isso significa, para a matriz A=(a_{ij}), que vale
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\qquad\forall i.
Aqui a_{ii} é o elemento da diagonal da linha i e \sum_{j\neq i}|a_{ij}| é a soma dos módulos dos demais elementos da mesma linha. Em palavras: o módulo do coeficiente que multiplica a incógnita principal da linha tem que ser maior do que a soma dos módulos dos outros coeficientes daquela linha.

Passo 3

Escrevo a matriz de coeficientes do sistema original para facilitar os cálculos:
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 \\\\ 5 & -2 & 1 \\\\ 1 & 5 & 3 \end{pmatrix}.
Agora aplico o critério linha a linha, calculando o módulo do elemento diagonal e a soma dos módulos dos outros elementos da mesma linha.

Passo 4

Cálculos para cada linha do sistema original:
Linha 1: |a_{11}|=|2|=2 e \sum_{j\neq1}|a_{1j}|=|1|+|4|=1+4=5. Como 2\not>5, a linha 1 não é estritamente diagonalmente dominante.
Linha 2: |a_{22}|=|-2|=2 e \sum_{j\neq2}|a_{2j}|=|5|+|1|=5+1=6. Como 2\not>6, a linha 2 não é estritamente dominante.
Linha 3: |a_{33}|=|3|=3 e \sum_{j\neq3}|a_{3j}|=|1|+|5|=1+5=6. Como 3\not>6, a linha 3 também não é estritamente dominante.
Portanto, nenhuma linha satisfaz o critério de dominância estrita; concluímos que, na forma dada, a matriz não é estritamente diagonalmente dominante por linhas e, por isso, o método de Gauss–Jacobi não é garantidamente convergente para este sistema (ou seja, o critério das linhas indica falta de convergência).

Passo 5

Agora vou trocar linhas (reordenar as equações) para tentar obter dominância estrita por linhas. Trocar a ordem das equações não altera o conjunto solução — só muda a disposição dos coeficientes. Uma boa estratégia é colocar, em cada linha nova, o coeficiente de maior módulo possível na posição diagonal dessa linha. Observando A, os maiores valores por linha estão em colunas (3,1,2) respectivamente, mas podemos conseguir dominância apenas reordenando as linhas sem mexer nas colunas: tomo a ordem de linhas (2,3,1) (ou seja, levo a segunda equação para cima, a terceira para o meio e a primeira para baixo). Escrevo o sistema com essa permutação de linhas:
\left\{\begin{array}{l} 5 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=1 \\[4pt] x_{1}+5 x_{2}+3 x_{3}=3 \\[4pt] 2 x_{1}+x_{2}+4 x_{3}=9 \end{array}\right.]

Passo 6

Verifico agora o critério das linhas na matriz reordenada. A nova matriz de coeficientes (apenas linhas permutadas) é
A_{\text{nova}}=\begin{pmatrix} 5 & -2 & 1 \\\\ 1 & 5 & 3 \\\\ 2 & 1 & 4 \end{pmatrix}.
Faço os cálculos linha a linha:
Linha 1 (nova): |a_{11}|=|5|=5 e \sum_{j\neq1}|a_{1j}|=|-2|+|1|=2+1=3. Como 5>3, a linha 1 é estritamente dominante.
Linha 2 (nova): |a_{22}|=|5|=5 e \sum_{j\neq2}|a_{2j}|=|1|+|3|=1+3=4. Como 5>4, a linha 2 é estritamente dominante.
Linha 3 (nova): |a_{33}|=|4|=4 e \sum_{j\neq3}|a_{3j}|=|2|+|1|=2+1=3. Como 4>3, a linha 3 é estritamente dominante.
Todas as linhas satisfazem a desigualdade estrita; logo a matriz A_{\text{nova}} é estritamente diagonalmente dominante por linhas.

Passo 7

Pelo critério que vimos, uma matriz estritamente diagonalmente dominante por linhas garante a convergência do método de Gauss–Jacobi para qualquer inicialização. Portanto, a reordenação das equações para a ordem (2,3,1) produz um sistema que converge pelo método de Gauss–Jacobi. Note que não foi necessário trocar colunas (ou seja, não foi preciso renomear incógnitas); bastou permutar as linhas (equações).

Resposta

\left\{\begin{array}{l} 5 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=1 \\[4pt] x_{1}+5 x_{2}+3 x_{3}=3 \\[4pt] 2 x_{1}+x_{2}+4 x_{3}=9 \end{array}\right.]

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