Determine se o subconjunto dado é LI no espaço vetorial dado:
(b) S=\left\{x^{3}+2 x+4, x^{2}-x-1, x^{3}+2 x^{2}+2\right\} em P_{3}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o subconjunto S=\{x^{3}+2x+4,\;x^{2}-x-1,\;x^{3}+2x^{2}+2\} é linearmente independente em P_{3} (espaço dos polinômios de grau ≤ 3). As informações dadas são exatamente os três polinômios:
p_{1}(x)=x^{3}+2x+4,
p_{2}(x)=x^{2}-x-1,
p_{3}(x)=x^{3}+2x^{2}+2.
A pergunta é simples: esses três vetores (polinômios) são linearmente independentes ou não?

Passo 2

O que significa ser linearmente independente? Vou explicar com calma: um conjunto de vetores (aqui, polinômios) é linearmente independente quando a única combinação linear que dá o polinómio zero é a combinação trivial, isto é, todos os coeficientes são zero. Formalmente, p_{1},p_{2},p_{3} são LI se, da igualdade
\alpha p_{1}+\beta p_{2}+\gamma p_{3}=0
seguirem necessariamente \alpha=\beta=\gamma=0. Se existir alguma escolha de \alpha,\beta,\gamma não todos nulos que satisfaça essa igualdade, então o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

Método que vamos usar (direto e confiável): escrever a combinação linear
\alpha p_{1}(x)+\beta p_{2}(x)+\gamma p_{3}(x)=0
e usar que dois polinômios são iguais se, e somente se, todos os coeficientes correspondentes das potências de x forem iguais. Portanto vamos igualar coeficientes de x^{3},x^{2},x e termo constante e resolver o sistema resultante para \alpha,\beta,\gamma.

Passo 4

Escrevendo a combinação linear com os polinômios dados:
\alpha(x^{3}+2x+4)+\beta(x^{2}-x-1)+\gamma(x^{3}+2x^{2}+2)=0.
Agrupando por potências de x obtemos os coeficientes:
  • coeficiente de x^{3}: \alpha+\gamma,
  • coeficiente de x^{2}: \beta+2\gamma,
  • coeficiente de x: 2\alpha-\beta,
  • termo constante: 4\alpha-\beta+2\gamma.
Como a soma deve ser o polinômio zero, cada um desses coeficientes deve ser zero. Assim formamos o sistema:
\begin{cases} \alpha+\gamma=0,\\[4pt] \beta+2\gamma=0,\\[4pt] 2\alpha-\beta=0,\\[4pt] 4\alpha-\beta+2\gamma=0. \end{cases}]

Passo 5

Agora resolvemos o sistema passo a passo.
Da primeira equação temos
\alpha=-\gamma.
Da segunda equação:
\beta=-2\gamma.
Substituímos \alpha e \beta expressos em \gamma na terceira equação para verificar consistência:
2\alpha-\beta=2(-\gamma)-(-2\gamma)=-2\gamma+2\gamma=0,
ou seja, a terceira equação é satisfeita para qualquer \gamma.
Substituímos também na quarta equação:
4\alpha-\beta+2\gamma=4(-\gamma)-(-2\gamma)+2\gamma=-4\gamma+2\gamma+2\gamma=0,
também satisfeita para qualquer \gamma.
Concluímos que existe uma família inteira de soluções parametrizada por \gamma. Em particular, tomando \gamma=1 obtemos uma solução não trivial
\alpha=-1,\quad \beta=-2,\quad \gamma=1.
Vamos checar explicitamente essa combinação (só para ficar tranquilo):
-1\cdot p_{1}-2\cdot p_{2}+1\cdot p_{3}=-(x^{3}+2x+4)-2(x^{2}-x-1)+(x^{3}+2x^{2}+2).
Calculando termo a termo:
  • termo x^{3}: -1+0+1=0,
  • termo x^{2}: 0-2+2=0,
  • termo x: -2+2+0=0,
  • constante: -4+2+2=0.
    Tudo zera, ou seja, a combinação não trivial dá exatamente o polinômio zero.

Passo 6

Interpretação final do que encontramos: como existe uma combinação linear dos três polinômios que resulta no polinômio zero com coeficientes não todos nulos (por exemplo -1,-2,1), o conjunto S é linearmente dependente. Dica prática para a prova: transformar polinômios em vetores de coordenadas na base \{1,x,x^{2},x^{3}\} e resolver o sistema (ou montar a matriz e calcular posto) é um jeito sistemático; aqui deu para achar uma combinação inteira simples, que muitas vezes aparece em exercícios.

Resposta

Linearmente dependente.

Exercícios relacionados