Determine se o subconjunto dado é LI no espaço vetorial dado:
(b) S=\left\{x^{3}+2 x+4, x^{2}-x-1, x^{3}+2 x^{2}+2\right\} em P_{3}.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o subconjunto S=\{x^{3}+2x+4,\;x^{2}-x-1,\;x^{3}+2x^{2}+2\} é linearmente independente em P_{3} (espaço dos polinômios de grau ≤ 3). As informações dadas são exatamente os três polinômios:
p_{1}(x)=x^{3}+2x+4,
p_{2}(x)=x^{2}-x-1,
p_{3}(x)=x^{3}+2x^{2}+2.
A pergunta é simples: esses três vetores (polinômios) são linearmente independentes ou não?
Passo 2
O que significa ser linearmente independente? Vou explicar com calma: um conjunto de vetores (aqui, polinômios) é linearmente independente quando a única combinação linear que dá o polinómio zero é a combinação trivial, isto é, todos os coeficientes são zero. Formalmente, p_{1},p_{2},p_{3} são LI se, da igualdade
\alpha p_{1}+\beta p_{2}+\gamma p_{3}=0
seguirem necessariamente \alpha=\beta=\gamma=0. Se existir alguma escolha de \alpha,\beta,\gamma não todos nulos que satisfaça essa igualdade, então o conjunto é linearmente dependente.
Passo 3
Método que vamos usar (direto e confiável): escrever a combinação linear
\alpha p_{1}(x)+\beta p_{2}(x)+\gamma p_{3}(x)=0
e usar que dois polinômios são iguais se, e somente se, todos os coeficientes correspondentes das potências de x forem iguais. Portanto vamos igualar coeficientes de x^{3},x^{2},x e termo constante e resolver o sistema resultante para \alpha,\beta,\gamma.
Passo 4
Escrevendo a combinação linear com os polinômios dados:
constante: -4+2+2=0.
Tudo zera, ou seja, a combinação não trivial dá exatamente o polinômio zero.
Passo 6
Interpretação final do que encontramos: como existe uma combinação linear dos três polinômios que resulta no polinômio zero com coeficientes não todos nulos (por exemplo -1,-2,1), o conjunto S é linearmente dependente. Dica prática para a prova: transformar polinômios em vetores de coordenadas na base \{1,x,x^{2},x^{3}\} e resolver o sistema (ou montar a matriz e calcular posto) é um jeito sistemático; aqui deu para achar uma combinação inteira simples, que muitas vezes aparece em exercícios.