Seja A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3} tal que \operatorname{det}(A)=100. Use as propriedades do determinante para calcular o determinante da matriz
B=\left[\begin{array}{l|ll} 3 a_{11}+2 a_{12} & -a_{12} & a_{13} \\\\ 3 a_{21}+2 a_{22} & -a_{22} & a_{23} \\\\ 3 a_{31}+2 a_{32} & -a_{32} & a_{33} \end{array}\right]
(a) \operatorname{det}(B)=400 (b) \operatorname{det}(B)=100 (c) \operatorname{det}(B)=-500
(d) \operatorname{det}(B)=-300 \quad (e) \operatorname{det}(B)=-200

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A=\left(a_{ij}\right)_{3\times3} com \operatorname{det}(A)=100 e pede \operatorname{det}(B) para a matriz
B=\begin{bmatrix} 3a_{11}+2a_{12} & -a_{12} & a_{13} \\\\ 3a_{21}+2a_{22} & -a_{22} & a_{23} \\\\ 3a_{31}+2a_{32} & -a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}.
Das entradas acima extraímos as colunas de A. Sejam \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3 as colunas de A. Então as colunas de B são
\mathbf{b}_1=3\mathbf{a}_1+2\mathbf{a}_2, \mathbf{b}_2=-\mathbf{a}_2 e \mathbf{b}_3=\mathbf{a}_3.
A pergunta é: qual é \operatorname{det}(B), sabendo que \operatorname{det}(A)=100?

Passo 2

Vou usar propriedades básicas do determinante (explicando cada uma):
  1. Linearidade em uma coluna: se uma coluna é soma de duas colunas, podemos escrever o determinante como soma dos determinantes com essas colunas separadas. Por exemplo, para colunas u,v,w e outra coluna x+y,
\operatorname{det}(x+y, u, v)=\operatorname{det}(x,u,v)+\operatorname{det}(y,u,v).
Isto significa que o determinante é linear em cada coluna separadamente.
2) Multiplicar uma coluna por um escalar k multiplica o determinante por k: \operatorname{det}(k x,u,v)=k\operatorname{det}(x,u,v).
3) Se duas colunas são proporcionais (por exemplo x e -x), o determinante é zero, porque as colunas são linearmente dependentes.
Com essas propriedades podemos manipular \operatorname{det}(B) de forma algébrica sem precisar dos números individuais.

Passo 3

Escrevo \operatorname{det}(B) em termos das colunas \mathbf{a}_i:
\operatorname{det}(B)=\operatorname{det}(3\mathbf{a}_1+2\mathbf{a}_2,\,-\mathbf{a}_2,\,\mathbf{a}_3).
Pela linearidade na primeira coluna, expandimos:
\operatorname{det}(B)=3\operatorname{det}(\mathbf{a}_1,\,-\mathbf{a}_2,\,\mathbf{a}_3)+2\operatorname{det}(\mathbf{a}_2,\,-\mathbf{a}_2,\,\mathbf{a}_3).

Passo 4

Observe que na segunda determinante da soma a primeira e segunda colunas são proporcionais ( \mathbf{a}_2 e -\mathbf{a}_2), portanto
\operatorname{det}(\mathbf{a}_2,\,-\mathbf{a}_2,\,\mathbf{a}_3)=0.
Logo sobra apenas a primeira parcela:
\operatorname{det}(B)=3\operatorname{det}(\mathbf{a}_1,\,-\mathbf{a}_2,\,\mathbf{a}_3).
Agora aplicamos a propriedade de multiplicar uma coluna por -1: puxando o -1 da segunda coluna,
\operatorname{det}(\mathbf{a}_1,\,-\mathbf{a}_2,\,\mathbf{a}_3) = (-1)\operatorname{det}(\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3).
Mas \operatorname{det}(\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3)=\operatorname{det}(A). Portanto
\operatorname{det}(B)=3\cdot(-1)\operatorname{det}(A)=-3\operatorname{det}(A).

Passo 5

Agora substituímos o valor dado \operatorname{det}(A)=100:
\operatorname{det}(B)=-3\cdot100=-300.
Portanto a alternativa correta é a (d).

Resposta

-300 (opção (d))

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