Das entradas acima extraímos as colunas de A. Sejam \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3 as colunas de A. Então as colunas de B são \mathbf{b}_1=3\mathbf{a}_1+2\mathbf{a}_2, \mathbf{b}_2=-\mathbf{a}_2 e \mathbf{b}_3=\mathbf{a}_3.
A pergunta é: qual é \operatorname{det}(B), sabendo que \operatorname{det}(A)=100?
Passo 2
Vou usar propriedades básicas do determinante (explicando cada uma):
Linearidade em uma coluna: se uma coluna é soma de duas colunas, podemos escrever o determinante como soma dos determinantes com essas colunas separadas. Por exemplo, para colunas u,v,w e outra coluna x+y,
\operatorname{det}(x+y, u, v)=\operatorname{det}(x,u,v)+\operatorname{det}(y,u,v).
Isto significa que o determinante é linear em cada coluna separadamente.
2) Multiplicar uma coluna por um escalar k multiplica o determinante por k: \operatorname{det}(k x,u,v)=k\operatorname{det}(x,u,v).
3) Se duas colunas são proporcionais (por exemplo x e -x), o determinante é zero, porque as colunas são linearmente dependentes.
Com essas propriedades podemos manipular \operatorname{det}(B) de forma algébrica sem precisar dos números individuais.
Passo 3
Escrevo \operatorname{det}(B) em termos das colunas \mathbf{a}_i: