Determine se o subconjunto dado é LI no espaço vetorial dado:
(c)
em
.
(c)
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se o subconjunto
é linearmente independente (LI) no espaço vetorial
.
Informações dadas (vou escrever explicitamente as matrizes que estão em
):
Não há outras hipóteses escondidas — só essas duas matrizes em
.]
Passo 2
Definição e método (explicadinho): um conjunto com duas matrizes (ou vetores)
é linearmente independente se a única solução do sistema
for
e
. Aqui
é a matriz zero de tamanho
. A razão: uma combinação linear nula com escalares não todos nulos significaria dependência linear. Para duas matrizes isso tem uma interpretação simples: elas são dependentes se e somente se uma for múltipla escalar da outra. Mas vou resolver pelo método geral (igualando entradas) para ficar bem claro e aplicável na prova.
Passo 3
Escrevo a equação da combinação linear nula com escalares
:
Passo 4
Igualando as entradas correspondentes da matriz acima, obtemos um sistema de seis equações (uma para cada posição
). Vou escrever cada uma:
Observação: algumas equações repetem informação (por exemplo (1) e (5) são idênticas). Não precisamos usar todas para resolver, basta encontrar que
é a única solução.
Passo 5
Resolver o sistema passo a passo (sem pular etapas):
-
Da equação (2) temosIsso vem direto de
. -
Substituindo
em (1) obtemos -
Podemos checar rapidamente as outras equações para confirmar coerência:
- Em (4):
— OK. - Em (3):
— OK. - Em (6):
— OK.
- Em (4):
Portanto a única solução da equação
é
e
. Pelo conceito de independência linear isso significa que as matrizes não são combinação linear não-trivial uma da outra.
Passo 6
Interpretação final curta e dica prática: para pares de vetores (ou matrizes) fica muito rápido procurar se uma é múltiplo escalar da outra. Aqui mesmo, se tentássemos ver se existe
com
, olharíamos as entradas e veríamos que da posição (1,2) isso exigiria
, impossível — logo não é múltiplo e portanto são LI. Nas provas, essa verificação de “uma é múltiplo da outra?” costuma ser a maneira mais rápida quando só há dois vetores.