Determine se o subconjunto dado é LI no espaço vetorial dado:
(c) S=\left\{\left[\begin{array}{lll}\mathbf{1} & \mathbf{0} & \mathbf{1} \\\ \mathbf{2} & \mathbf{1} & \mathbf{4}\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}\mathbf{3} & \mathbf{1} & \mathbf{2} \\\ \mathbf{0} & \mathbf{3} & \mathbf{3}\end{array}\right]\right\} em \mathbf{R}_{\mathbf{2} \times \mathbf{3}}.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se o subconjunto S é linearmente independente (LI) no espaço vetorial \mathbb{R}_{2\times3}.
Informações dadas (vou escrever explicitamente as matrizes que estão em S):
M_1=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\[4pt] 2 & 1 & 4\end{pmatrix}, \qquad M_2=\begin{pmatrix}3 & 1 & 2 \\[4pt] 0 & 3 & 3\end{pmatrix}.
Não há outras hipóteses escondidas — só essas duas matrizes em \mathbb{R}_{2\times3}.]

Passo 2

Definição e método (explicadinho): um conjunto com duas matrizes (ou vetores) \{M_1,M_2\} é linearmente independente se a única solução do sistema
\alpha M_1 + \beta M_2 = 0
for \alpha=0 e \beta=0. Aqui 0 é a matriz zero de tamanho 2\times3. A razão: uma combinação linear nula com escalares não todos nulos significaria dependência linear. Para duas matrizes isso tem uma interpretação simples: elas são dependentes se e somente se uma for múltipla escalar da outra. Mas vou resolver pelo método geral (igualando entradas) para ficar bem claro e aplicável na prova.

Passo 3

Escrevo a equação da combinação linear nula com escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R}:
\alpha \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\[4pt] 2 & 1 & 4\end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix}3 & 1 & 2 \\[4pt] 0 & 3 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Igualando as entradas correspondentes da matriz acima, obtemos um sistema de seis equações (uma para cada posição 2\times3). Vou escrever cada uma:
\begin{aligned} \text{(1) } & \alpha + 3\beta = 0 &\quad&\text{(entrada linha 1, coluna 1)}\\\ \text{(2) } & 0\alpha + 1\beta = 0 &\quad&\text{(entrada linha 1, coluna 2)}\\\ \text{(3) } & \alpha + 2\beta = 0 &\quad&\text{(entrada linha 1, coluna 3)}\\\ \text{(4) } & 2\alpha + 0\beta = 0 &\quad&\text{(entrada linha 2, coluna 1)}\\\ \text{(5) } & \alpha + 3\beta = 0 &\quad&\text{(entrada linha 2, coluna 2)}\\\ \text{(6) } & 4\alpha + 3\beta = 0 &\quad&\text{(entrada linha 2, coluna 3).} \end{aligned}
Observação: algumas equações repetem informação (por exemplo (1) e (5) são idênticas). Não precisamos usar todas para resolver, basta encontrar que \alpha=\beta=0 é a única solução.

Passo 5

Resolver o sistema passo a passo (sem pular etapas):
  • Da equação (2) temos
    \beta = 0.
    Isso vem direto de 0\alpha + 1\beta = 0.
  • Substituindo \beta=0 em (1) obtemos
    \alpha + 3\cdot 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad \alpha = 0.
  • Podemos checar rapidamente as outras equações para confirmar coerência:
    • Em (4): 2\alpha = 2\cdot 0 = 0 — OK.
    • Em (3): \alpha + 2\beta = 0 + 0 = 0 — OK.
    • Em (6): 4\alpha + 3\beta = 0 + 0 = 0 — OK.
Portanto a única solução da equação \alpha M_1+\beta M_2=0 é \alpha=0 e \beta=0. Pelo conceito de independência linear isso significa que as matrizes não são combinação linear não-trivial uma da outra.

Passo 6

Interpretação final curta e dica prática: para pares de vetores (ou matrizes) fica muito rápido procurar se uma é múltiplo escalar da outra. Aqui mesmo, se tentássemos ver se existe k com M_2=k M_1, olharíamos as entradas e veríamos que da posição (1,2) isso exigiria 1=k\cdot 0, impossível — logo não é múltiplo e portanto são LI. Nas provas, essa verificação de “uma é múltiplo da outra?” costuma ser a maneira mais rápida quando só há dois vetores.

Resposta

S é linearmente independente.

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