Determine se o subconjunto dado é LI no espaço vetorial dado: S=\left\{\mathbf{2} \boldsymbol{x}^{\mathbf{3}}-\mathbf{x}+\mathbf{3},-\mathbf{4} \boldsymbol{x}^{\mathbf{3}}+\mathbf{2 x}-\mathbf{3}\right\} em \mathbf{P}_{\mathbf{3}};
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o subconjunto
S=\{\,2x^{3}-x+3,\;-4x^{3}+2x-3\,\}
é linearmente independente no espaço vetorial \,P_{3}\, (polinômios de grau ≤ 3).
Informações dadas:
Os dois vetores (polinômios) são \,p_{1}(x)=2x^{3}-x+3\, e \,p_{2}(x)=-4x^{3}+2x-3\,.
O espaço onde se avalia a independência é \,P_{3}\,, cujos elementos têm forma geral envolvendo as potências 1,x,x^{2},x^{3}.
Passo 2
O que significa ser linearmente independente (LI)?
Um conjunto \{v_{1},v_{2}\} é LI se a única solução da equação linear
\alpha\,v_{1}+\beta\,v_{2}=0
é \alpha=0 e \beta=0. Aqui 0 é o polinômio nulo (todos os coeficientes zero).
Explicando devagar: se uma combinação linear dos polinômios dá o polinômio nulo, então todos os coeficientes dos monômios x^{3},x^{2},x,1 nessa combinação devem ser zero — porque dois polinômios são iguais se e só se todos os coeficientes correspondentes são iguais.
Passo 3
Vamos escrever a combinação linear genérica dos dois polinômios e igualá-la ao polinômio nulo:
\alpha(2x^{3}-x+3)+\beta(-4x^{3}+2x-3)=0.
O objetivo é encontrar todos os valores de \alpha e \beta que satisfazem essa identidade em x.
Passo 4
Expandindo e agrupando coeficientes por potências de x:
Substituindo em primeira equação 2\alpha-4\beta=0:
2(2\beta)-4\beta=4\beta-4\beta=0,
que é verdadeira para qualquer \beta (não dá nova restrição).
Substituindo \alpha=2\beta na terceira equação 3\alpha-3\beta=0:
3(2\beta)-3\beta=6\beta-3\beta=3\beta=0,
logo
\beta=0.
Com \beta=0 e \alpha=2\beta segue
\alpha=0.
Portanto a única solução do sistema é \alpha=0 e \beta=0 — ou seja, só a combinação trivial fornece o polinômio nulo.
Passo 6
Interpretação prática e um jeitinho rápido para checar: dois polinômios são linearmente dependentes se um for múltiplo escalar do outro. Aqui, tentando ver se existe k com p_{2}=k\,p_{1}, nota-se que o coeficiente de x^{3} de p_{2} é -4 e o de p_{1} é 2; isso sugeriria k=-2, mas -2p_{1}=-4x^{3}+2x-6, que tem constante -6 diferente de -3. Logo não são múltiplos escalares — isso já dá uma forte evidência de independência, compatível com a resolução algébrica acima.