Considere 2 conjuntos de vetores do \mathbf{R}^{4} dados: \mathbf{u 1}=(\mathbf{1}, \mathbf{2},-\mathbf{1}, \mathbf{3});
\mathbf{u 2}=(-\mathbf{1}, \mathbf{1}, \mathbf{4}, \mathbf{3}) ; \mathbf{u} 3=(-\mathbf{1}, \mathbf{4}, \mathbf{2}, 2) e \mathbf{w 1}=(-\mathbf{1}, \mathbf{4}, 2,2) ;
w2 =(-1,4,2,2). Sejam U=\operatorname{ger}\left(u_{i}\right) e W=\operatorname{ger}\left(w_{i}\right). Mostrar que, U=W.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores em \mathbf{R}^4:
u_1=(1,2,-1,3),\qquad u_2=(-1,1,4,3),\qquad u_3=(-1,4,2,2),
w_1=(-1,4,2,2),\qquad w_2=(-1,4,2,2).
Definem-se os subespaços gerados
U=\operatorname{ger}(u_i)=\operatorname{span}\{u_1,u_2,u_3\}, \qquad W=\operatorname{ger}(w_i)=\operatorname{span}\{w_1,w_2\}.
O pedido do exercício é: mostrar que U=W.

Passo 2

Vou explicar rapidamente o que significa provar que dois subespaços são iguais e uma estratégia prática que uso aqui.
Definições essenciais (explicadas de forma direta):
  • A notação \operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\} significa o conjunto de todas as combinações lineares \alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_k v_k com escalares reais \alpha_i.
  • Para provar que dois subespaços U e W são iguais, uma maneira é mostrar as duas inclusões U\subseteq W e W\subseteq U. Outra maneira prática, quando temos geradores finitos, é comparar dimensões (número de vetores de uma base): se U\subseteq W e \dim U=\dim W então U=W; mas se \dim U\neq\dim W já podemos concluir que U\neq W.
Aqui vou:
  1. Identificar W de forma simples (os dois geradores dados são idênticos).
  2. Calcular a dimensão de U verificando linear independência dos u_i (por eliminação de Gauss).
  3. Concluir comparando dimensões e, se necessário, exibindo vetores que provem a não-inclusão.

Passo 3

Análise de W.
Observe que os dois vetores geradores são iguais (peguei essa informação do enunciado: w_1=w_2=(-1,4,2,2)). Portanto
W=\operatorname{span}\{w_1,w_2\}=\operatorname{span}\{w_1\}=\{\lambda\,w_1:\lambda\in\mathbb{R}\}.
Isto significa que W é uma reta através da origem em \mathbf{R}^4, ou seja \dim W=1.

Passo 4

Agora vou estudar U=\operatorname{span}\{u_1,u_2,u_3\}. Para saber a dimensão de U calculo o posto (rank) da família \{u_1,u_2,u_3\}. Coloco os vetores como colunas de uma matriz e faço eliminação por linhas (Gauss). A matriz cujas colunas são u_1,u_2,u_3 é
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\[4pt] 2 & 1 & 4\\[4pt] -1 & 4 & 2\\[4pt] 3 & 3 & 2 \end{pmatrix}.
Faço operações elementares por linhas para triangularizar e contar pivôs.
  1. Usando a primeira linha para zerar abaixo:
R_2\leftarrow R_2-2R_1,\qquad R_3\leftarrow R_3+R_1,\qquad R_4\leftarrow R_4-3R_1.
Resultado:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 3 & 6\\[4pt] 0 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 3 & 5 \end{pmatrix}.
  1. Agora uso a segunda linha para zerar nas linhas 3 e 4:
R_3\leftarrow R_3-R_2,\qquad R_4\leftarrow R_4-R_2.
Resultado:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 3 & 6\\[4pt] 0 & 0 & -5\\[4pt] 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
  1. A terceira linha é não nula ( [0\;0\;-5]), portanto há pivô na terceira coluna; a quarta linha [0\;0\;-1] é múltipla da terceira (dependente). Assim há pivôs nas colunas 1, 2 e 3 — total de 3 pivôs.
Conclusão dessa redução: o posto da matriz A é 3. Portanto os vetores u_1,u_2,u_3 são linearmente independentes (em \mathbf{R}^4 não chegam a ser base do espaço todo, que exigiria 4 vetores, mas são independentes) e
\dim U = 3.
(Explicação rápida: o número de pivôs obtidos na eliminação é o número de vetores de uma base extraída da família; aqui são 3, logo a dimensão do subespaço gerado é 3.)]

Passo 5

Comparação das dimensões e conclusão.
Do passo 3 temos \dim W=1. Do passo 4 temos \dim U=3. Como as dimensões são diferentes, não é possível que U=W: subespaços iguais têm necessariamente a mesma dimensão. Logo
U\neq W.
Para ficar ainda mais evidente: como u_3=(-1,4,2,2)=w_1 (peguei isso do enunciado), temos w_1\in U, isto é W\subseteq U (na verdade W é a reta gerada por u_3). Mas U contém vetores não colineares com u_3, por exemplo u_1 não é múltiplo de u_3: se existisse \lambda tal que u_1=\lambda u_3, então da primeira coordenada teríamos 1=\lambda(-1)\Rightarrow \lambda=-1, e da segunda coordenada teríamos 2=\lambda\cdot 4=-4, contradição. Logo u_1\not\in W, mostrando explicitamente que U\not\subseteq W. Portanto U\neq W.

Passo 6

Resumo didático e dica rápida para a prova.
  • Para provar igualdade de subespaços, a forma mecânica é tentar mostrar U\subseteq W e W\subseteq U.
  • Um atalho prático: comparar dimensões — se uma inclusão for óbvia e as dimensões coincidirem, então os subespaços são iguais.
  • Sempre confira se os vetores geradores de um dos conjuntos não são redundantes (no caso, w_1=w_2 torna W 1D).
  • Aqui a verificação direta por eliminação mostrou \dim U=3 e \dim W=1, então não há igualdade.
Força nos estudos — você já conseguiu ver o mecanismo: eliminar e comparar dimensões é uma ferramenta poderosa e rápida na prova.

Resposta

U\neq W

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