Vou explicar rapidamente o que significa provar que dois subespaços são iguais e uma estratégia prática que uso aqui.
Definições essenciais (explicadas de forma direta):
A notação \operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\} significa o conjunto de todas as combinações lineares \alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_k v_k com escalares reais \alpha_i.
Para provar que dois subespaços U e W são iguais, uma maneira é mostrar as duas inclusões U\subseteq W e W\subseteq U. Outra maneira prática, quando temos geradores finitos, é comparar dimensões (número de vetores de uma base): se U\subseteq W e \dim U=\dim W então U=W; mas se \dim U\neq\dim W já podemos concluir que U\neq W.
Aqui vou:
Identificar W de forma simples (os dois geradores dados são idênticos).
Calcular a dimensão de U verificando linear independência dos u_i (por eliminação de Gauss).
Concluir comparando dimensões e, se necessário, exibindo vetores que provem a não-inclusão.
Passo 3
Análise de W.
Observe que os dois vetores geradores são iguais (peguei essa informação do enunciado: w_1=w_2=(-1,4,2,2)). Portanto
Isto significa que W é uma reta através da origem em \mathbf{R}^4, ou seja \dim W=1.
Passo 4
Agora vou estudar U=\operatorname{span}\{u_1,u_2,u_3\}. Para saber a dimensão de U calculo o posto (rank) da família \{u_1,u_2,u_3\}. Coloco os vetores como colunas de uma matriz e faço eliminação por linhas (Gauss). A matriz cujas colunas são u_1,u_2,u_3 é
A terceira linha é não nula ([0\;0\;-5]), portanto há pivô na terceira coluna; a quarta linha [0\;0\;-1] é múltipla da terceira (dependente). Assim há pivôs nas colunas 1, 2 e 3 — total de 3 pivôs.
Conclusão dessa redução: o posto da matriz A é 3. Portanto os vetores u_1,u_2,u_3 são linearmente independentes (em \mathbf{R}^4 não chegam a ser base do espaço todo, que exigiria 4 vetores, mas são independentes) e
\dim U = 3.
(Explicação rápida: o número de pivôs obtidos na eliminação é o número de vetores de uma base extraída da família; aqui são 3, logo a dimensão do subespaço gerado é 3.)]
Passo 5
Comparação das dimensões e conclusão.
Do passo 3 temos \dim W=1. Do passo 4 temos \dim U=3. Como as dimensões são diferentes, não é possível que U=W: subespaços iguais têm necessariamente a mesma dimensão. Logo
U\neq W.
Para ficar ainda mais evidente: como u_3=(-1,4,2,2)=w_1 (peguei isso do enunciado), temos w_1\in U, isto é W\subseteq U (na verdade W é a reta gerada por u_3). Mas U contém vetores não colineares com u_3, por exemplo u_1 não é múltiplo de u_3: se existisse \lambda tal que u_1=\lambda u_3, então da primeira coordenada teríamos 1=\lambda(-1)\Rightarrow \lambda=-1, e da segunda coordenada teríamos 2=\lambda\cdot 4=-4, contradição. Logo u_1\not\in W, mostrando explicitamente que U\not\subseteq W. Portanto U\neq W.
Passo 6
Resumo didático e dica rápida para a prova.
Para provar igualdade de subespaços, a forma mecânica é tentar mostrar U\subseteq W e W\subseteq U.
Um atalho prático: comparar dimensões — se uma inclusão for óbvia e as dimensões coincidirem, então os subespaços são iguais.
Sempre confira se os vetores geradores de um dos conjuntos não são redundantes (no caso, w_1=w_2 torna W 1D).
Aqui a verificação direta por eliminação mostrou \dim U=3 e \dim W=1, então não há igualdade.
Força nos estudos — você já conseguiu ver o mecanismo: eliminar e comparar dimensões é uma ferramenta poderosa e rápida na prova.