Verificar se os polinômios: \mathbf{P}_{\mathbf{0}}(\mathbf{t})=\mathbf{1} ; \mathbf{P}_{\mathbf{1}}(\mathbf{t})=\mathbf{1}+\mathbf{t} ; \mathbf{P}_{\mathbf{2}}(\mathbf{t})=(\mathbf{1}-\mathbf{t})^{\mathbf{2}} e \mathbf{P}_{\mathbf{3}}(\mathbf{t})=(\mathbf{1}-\mathbf{t})^{\mathbf{3}} são linearmente independente.
Passo 1
O enunciado dá quatro polinômios em t e pede para verificar se eles são linearmente independentes. Os polinômios fornecidos são:
O que se pede: determinar se existe ou não uma combinação linear não-trivial
a_0 P_0(t)+a_1 P_1(t)+a_2 P_2(t)+a_3 P_3(t)=0
(valendo o polinômio nulo para todo t) com coeficientes a_0,a_1,a_2,a_3 nem todos zero. Se a única solução for a_0=a_1=a_2=a_3=0, então os polinômios são linearmente independentes.
Passo 2
Vou aplicar a definição de independência linear: considerar a combinação linear genérica igual ao polinômio nulo e mostrar que isso força todos os coeficientes a serem zero. Começo introduzindo coeficientes escalares a_0,a_1,a_2,a_3 e escrevo a equação
a_0P_0(t)+a_1P_1(t)+a_2P_2(t)+a_3P_3(t)=0\quad\text{para todo }t.
Passo 3
Expando cada P_i(t) em potência de t. Primeiro, calcular P_2 e P_3 explicitamente:
P_2(t)=(1-t)^2=1-2t+t^2,
P_3(t)=(1-t)^3=1-3t+3t^2-t^3.
Também mantenho P_0(t)=1 e P_1(t)=1+t.
Passo 4
Substituo as expansões na combinação linear e somo termo a termo:
Substituindo a_3=0 na segunda equação vem a_2+3\cdot 0=0\Rightarrow a_2=0.
Substituindo a_2=0 e a_3=0 na terceira equação vem a_1-2\cdot0-3\cdot0=0\Rightarrow a_1=0.
Finalmente, substituindo a_1=a_2=a_3=0 na quarta equação vem a_0+0+0+0=0\Rightarrow a_0=0.
Portanto a única solução do sistema é a_0=a_1=a_2=a_3=0.
Passo 7
Conclusão lógica: como a combinação linear que produz o polinômio nulo tem apenas a solução trivial para os coeficientes, os quatro polinômios são linearmente independentes. (Observação didática: isso também era esperado porque os polinômios vivem no espaço de dimensão 4 formado por todos os polinômios de grau ≤3; quatro vetores desse espaço que não ficam linearmente dependentes formam uma base — aqui mostramos explicitamente que não há dependência.)