Determine o subespaço gerado por cada um dos conjuntos abaixo: A=\{(1,-1),(2,3)\}
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
A=\{(1,-1),(2,3)\}
e pede para determinar o subespaço gerado por A, isto é, o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores de A. Em outras palavras, querem saber qual é
Primeiro vou explicar o que é gerar um subespaço de forma bem prática. Dizer que os vetores de A geram um subespaço significa que pegamos todas as combinações lineares
\alpha(1,-1)+\beta(2,3)
com \alpha,\beta\in\mathbb{R}. O conjunto dessas combinações pode ser uma reta através da origem, o plano todo \mathbb{R}^2, ou só o vetor zero. Para decidir qual é, precisamos ver se os dois vetores são linearmente independentes ou não:
se são dependentes (um é múltiplo do outro), o span é uma reta;
se são independentes, o span é todo \mathbb{R}^2.
Passo 3
Teste rápido: verificar se um vetor é múltiplo do outro. Suponha que exista k\in\mathbb{R} tal que
(2,3)=k(1,-1).
Isso dá as igualdades escalares
2=k\cdot 1\quad\text{e}\quad 3=k\cdot(-1).
Da segunda igualdade obtemos k=-3. Substituindo na primeira teríamos 2=-3, o que é falso. Logo não existe k que faça um ser múltiplo do outro. Portanto os vetores NÃO são colineares.
Passo 4
Outra forma objetiva de testar independência em \mathbb{R}^2 é montar a matriz cujas colunas (ou linhas) são os vetores e calcular o determinante. Montando a matriz com colunas os vetores de A:
M=\begin{pmatrix}1 & 2\\\\ -1 & 3\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(M)=1\cdot 3-(-1)\cdot 2=3+2=5.
Como \det(M)=5\neq 0, as colunas são linearmente independentes. Isso confirma que os dois vetores formam uma base de \mathbb{R}^2.
Passo 5
Para ficar bem claro como qualquer vetor (x,y)\in\mathbb{R}^2\) pode ser escrito como combinação linear dos vetores de \(A\), escrevemos
\[\alpha(1,-1)+\beta(2,3)=(x,y).
Isso gera o sistema linear em \alpha,\beta:
\begin{cases} \alpha+2\beta = x,\\\\ -\alpha+3\beta = y. \end{cases}
Substituindo em \alpha+2\beta=x\] temos
\[\alpha = x-2\beta = x-2\cdot\dfrac{x+y}{5} = \dfrac{5x-2x-2y}{5} = \dfrac{3x-2y}{5}.\]
Como para qualquer \((x,y) obtivemos \alpha,\beta\in\mathbb{R} que resolvem o sistema, qualquer vetor de \mathbb{R}^2 é combinação linear dos vetores de A.
Passo 6
Conclusão didática e motivacional: os dois vetores não são múltiplos entre si e têm determinante diferente de zero, portanto são independentes e geram o plano inteiro. Assim A é uma base de \mathbb{R}^2 e \dim\operatorname{span}(A)=2. Mandou bem vindo até aqui — isso significa que com esses dois vetores você constrói qualquer vetor do plano.