Escreva o vetor (2,5,9,17) \in R^{4} como combinação dos vetores a=(1,1,1,1), b=(0,-1,1,0) e c=(0,0,2,3).

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor (2,5,9,17)\in\mathbb{R}^4 como combinação linear dos vetores
a=(1,1,1,1),\qquad b=(0,-1,1,0),\qquad c=(0,0,2,3).
Ou seja, encontrar escalares x,y,z tais que
x\,a+y\,b+z\,c=(2,5,9,17).
As informações relevantes: os três vetores a,b,c e o vetor alvo (2,5,9,17). O objetivo é determinar os números x,y,z.

Passo 2

Explicando o que é pedir: escrever (2,5,9,17) como combinação linear significa exatamente achar x,y,z\in\mathbb{R} com
x(1,1,1,1)+y(0,-1,1,0)+z(0,0,2,3)=(2,5,9,17).
Isso gera um sistema de equações componente a componente: cada coordenada do lado esquerdo deve ser igual à coordenada correspondente do lado direito.

Passo 3

Escrevendo o sistema de componentes (cada linha corresponde a uma coordenada):
\begin{cases} x = 2,\\[4pt] x - y = 5,\\[4pt] x + y + 2z = 9,\\[4pt] x + 3z = 17. \end{cases}
Aqui cada equação veio de igualar as coordenadas correspondentes:
  • primeira coordenada: x\cdot1 + y\cdot0 + z\cdot0 = 2,
  • segunda: x\cdot1 + y\cdot(-1) + z\cdot0 = 5,
  • terceira: x\cdot1 + y\cdot1 + z\cdot2 = 9,
  • quarta: x\cdot1 + y\cdot0 + z\cdot3 = 17.]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo, usando a primeira equação imediatamente:
x=2.
Substituindo em x - y = 5:
2 - y = 5 \quad\Rightarrow\quad -y = 3 \quad\Rightarrow\quad y = -3.
Agora usar x e y na terceira equação x + y + 2z = 9:
2 + (-3) + 2z = 9 \quad\Rightarrow\quad -1 + 2z = 9 \quad\Rightarrow\quad 2z = 10 \quad\Rightarrow\quad z = 5.

Passo 5

Verificação rápida com a quarta equação x + 3z = 17:
2 + 3\cdot 5 = 2 + 15 = 17,
portanto a solução x=2,\;y=-3,\;z=5 é consistente com todas as equações.

Passo 6

Interpretação e unicidade: encontramos x,y,z de forma direta e consistente, então
(2,5,9,17)=2\,a-3\,b+5\,c.
Além disso, pode-se notar que a primeira coordenada fornece x diretamente, e então as demais coordenadas fixam y e z; portanto esta representação é única (os vetores a,b,c são linearmente independentes, o que garante unicidade da combinação).

Resposta

(2,5,9,17)=2a-3b+5c

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