Determine o subespaço gerado por cada um dos conjuntos abaixo:
A=\{(1,5,1),(2,1,-1)\}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (peguei estes vetores do enunciado):
  • Conjunto A=\{(1,5,1),(2,1,-1)\}.
    O enunciado pede: determinar o subespaço gerado por A, ou seja, descrever o conjunto de todas as combinações lineares de (1,5,1) e (2,1,-1).

Passo 2

O que significa “subespaço gerado” (aula rápida e direta, sem jargão):
  • O subespaço gerado por A, também chamado de \operatorname{span}(A), é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como
s(1,5,1)+t(2,1,-1)
onde s e t variam em \mathbb{R}.
  • Para saber se esse subespaço é uma reta (dimensão 1) ou um plano (dimensão 2) ou só o vetor zero, verificamos se os vetores dados são linearmente dependentes ou independentes.

Passo 3

Teste de dependência linear (vou montar a combinação linear nula e resolver passo a passo):
Procuramos s,t\in\mathbb{R}\) tais que \[s(1,5,1)+t(2,1,-1)=(0,0,0).
Escrevendo coordenada a coordenada obtemos o sistema
\begin{cases} s+2t=0,\\[4pt] 5s+t=0,\\[4pt] s - t=0. \end{cases}
Vou resolver esse sistema de maneira direta:
  • Da terceira equação s-t=0\] segue \(s=t.
  • Substituindo s=t na primeira equação s+2t=0 t+2t=0\Rightarrow 3t=0\Rightarrow t=0.
  • Então s=0 também.
    Portanto a única solução é s=0 e t=0. Isso significa que os vetores são linearmente independentes.]

Passo 4

Consequência da independência:
  • Como temos dois vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^3, o subespaço gerado por eles é um plano passante pela origem (dimensão 2).
  • Uma base desse plano é exatamente \{(1,5,1),(2,1,-1)\}.

Passo 5

Representação paramétrica do subespaço:
  • A descrição mais direta é
\operatorname{span}(A)=\{\,s(1,5,1)+t(2,1,-1)\mid s,t\in\mathbb{R}\,\}.
Isto já responde “qual é o subespaço”, mas dá para escrever também a equação cartesiana do plano.

Passo 6

Encontrando a equação cartesiana do plano (explico o método e faço as contas):
  • Para obter a equação do plano usamos um vetor normal n perpendicular aos dois vetores geradores; esse n é o produto vetorial de (1,5,1) por (2,1,-1).
    Calculo o produto vetorial:
(1,5,1)\times(2,1,-1)= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[2pt] 1 & 5 & 1\\[2pt] 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (\;5\cdot(-1)-1\cdot1\;,\;-(1\cdot(-1)-1\cdot2)\;,\;1\cdot1-5\cdot2\;).
Agora os cálculos dentro do parêntese:
(5\cdot(-1)-1\cdot1)= -5-1=-6,
-(1\cdot(-1)-1\cdot2)= -(-1-2)= -(-3)=3,
1\cdot1-5\cdot2=1-10=-9.
Logo um vetor normal é n=(-6,3,-9). Podemos dividir por -3 para simplificar e obter n=(2,-1,3).
  • A equação cartesiana do plano passa a ser n\cdot(x,y,z)=0 (porque o plano passa pela origem), ou seja:
2x - y + 3z = 0.
Verificação rápida: 2\cdot1-5+3\cdot1=2-5+3=0 e 2\cdot2-1+3\cdot(-1)=4-1-3=0, confirma que ambos os vetores satisfazem a equação.]

Passo 7

Resumo final (o que você precisa decorar para a prova):
  • O subespaço gerado por A é o plano de dimensão 2 em \mathbb{R}^3 com base \{(1,5,1),(2,1,-1)\}.
  • Formas equivalentes de descrevê-lo que são úteis na prova:
    • Forma paramétrica: \{s(1,5,1)+t(2,1,-1)\mid s,t\in\mathbb{R}\}.
    • Forma cartesiana: \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid 2x-y+3z=0\}.
      Força aí — se quiser, eu te mostro como escrever um vetor qualquer (x,y,z) do plano em termos de s e t (ou como resolver para s,t dado (x,y,z)).

Resposta

\operatorname{span}(A)=\{s(1,5,1)+t(2,1,-1)\mid s,t\in\mathbb{R}\}
\operatorname{span}(A)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid 2x-y+3z=0\}

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