G(A)=\{\,s v_1 + t v_2 + u v_3 \mid s,t,u\in\mathbb{R}\,\}.
Isso já é uma forma válida de descrever o gerador, mas vamos deixar a descrição mais explícita e também achar uma equação que caracterize o subespaço (para saber exatamente quais vetores pertencem a G(A)).
Passo 3
Vou verificar se v_1,v_2,v_3\) são linearmente independentes (isso diz se podemos usar os próprios vetores como base).
Procuramos \(s,t,u\) tais que
\[s v_1 + t v_2 + u v_3 = (0,0,0,0).
Escrevendo coordenada a coordenada:
\begin{cases} s + t = 0,\\[4pt] 2s - t = 0,\\[4pt] 3s = 0,\\[4pt] s + u = 0. \end{cases}
Da terceira equação vem s=0\]. Então da primeira \(t=0. Da última u=0. Logo a única solução é s=t=u=0, portanto v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes. Conclusão útil: os três vetores formam uma base de G(A) e \dim G(A)=3.]
Passo 4
Agora escrevo um vetor genérico de G(A) como combinação linear:
s v_1 + t v_2 + u v_3 = \bigl(s+t,\;2s-t,\;3s,\;s+u\bigr).
Logo um vetor (x_1,x_2,x_3,x_4) pertence a G(A) se e somente se existem s,t,u tais que
Também podemos afirmar que \{v_1,v_2,v_3\} é uma base de G(A) e \dim G(A)=3.
Passo 7
Agora a parte (b). Um vetor (1,3,4,k) pertence a G(A) exatamente quando satisfaz a equação da Passo 6:
1 + 3 - 4 = 0.
A igualdade fica 0=0, que é verdadeira independentemente de k. Em outras palavras não há nenhuma restrição sobre a coordenada final k: para qualquer k\in\mathbb{R} existe s,t,u que produzem (1,3,4,k). Por exemplo podemos tomar
s=\frac{x_3}{3}=\frac{4}{3},\qquad t=x_1-s=1-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3},\qquad u = k - s = k-\frac{4}{3},
o que de fato dá (1,3,4,k)=s v_1 + t v_2 + u v_3.
Resposta
G(A)=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4 \mid x_1+x_2-x_3=0\}.
Qualquer k\in\mathbb{R} (ou seja, todos os k real) satisfazem (1,3,4,k)\in G(A).