Seja A=\{(1,2,3,1),(1,-1,0,0),(0,0,0,1)\}
(a) Determine G(A).
(b) Determine o valor de k, para que (1,3,4,-1) \in G(A).

Passo 1

O enunciado dá o conjunto A de vetores em \mathbb{R}^4:
A=\{(1,2,3,1),(1,-1,0,0),(0,0,0,1)\}.
Pede-se:
  • (a) determinar G(A) (isto é, o subespaço gerado por A);
  • (b) determinar o valor de k tal que (1,3,4,k)\in G(A).

Passo 2

Primeiro vou lembrar o que é G(A) de forma prática: G(A) é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores de A. Se denotarmos
v_1=(1,2,3,1),\quad v_2=(1,-1,0,0),\quad v_3=(0,0,0,1),
então
G(A)=\{\,s v_1 + t v_2 + u v_3 \mid s,t,u\in\mathbb{R}\,\}.
Isso já é uma forma válida de descrever o gerador, mas vamos deixar a descrição mais explícita e também achar uma equação que caracterize o subespaço (para saber exatamente quais vetores pertencem a G(A)).

Passo 3

Vou verificar se v_1,v_2,v_3\) são linearmente independentes (isso diz se podemos usar os próprios vetores como base). Procuramos \(s,t,u\) tais que \[s v_1 + t v_2 + u v_3 = (0,0,0,0).
Escrevendo coordenada a coordenada:
\begin{cases} s + t = 0,\\[4pt] 2s - t = 0,\\[4pt] 3s = 0,\\[4pt] s + u = 0. \end{cases}
Da terceira equação vem s=0\]. Então da primeira \(t=0. Da última u=0. Logo a única solução é s=t=u=0, portanto v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes. Conclusão útil: os três vetores formam uma base de G(A) e \dim G(A)=3.]

Passo 4

Agora escrevo um vetor genérico de G(A) como combinação linear:
s v_1 + t v_2 + u v_3 = \bigl(s+t,\;2s-t,\;3s,\;s+u\bigr).
Logo um vetor (x_1,x_2,x_3,x_4) pertence a G(A) se e somente se existem s,t,u tais que
\begin{cases} x_1 = s+t,\\[4pt] x_2 = 2s-t,\\[4pt] x_3 = 3s,\\[4pt] x_4 = s+u. \end{cases}]

Passo 5

Para obter uma equação que caracterize G(A) elimino s,t,u. Da terceira equação vem
s=\frac{x_3}{3}.
Substituo na primeira e segunda equações:
t = x_1 - s = x_1 - \frac{x_3}{3},
e
x_2 = 2s - t = 2\cdot\frac{x_3}{3} -\bigl(x_1-\frac{x_3}{3}\bigr) = \frac{2x_3}{3} - x_1 + \frac{x_3}{3} = x_3 - x_1.
Rearranjando essa condição chega-se à relação linear simples
x_1 + x_2 - x_3 = 0.
Não há restrição sobre x_4 (pois u = x_4 - s resolve-se sempre), então a única condição necessária e suficiente é essa.

Passo 6

Portanto uma descrição limpa de G(A) é:
G(A)=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4 \mid x_1 + x_2 - x_3 = 0\}.
Também podemos afirmar que \{v_1,v_2,v_3\} é uma base de G(A) e \dim G(A)=3.

Passo 7

Agora a parte (b). Um vetor (1,3,4,k) pertence a G(A) exatamente quando satisfaz a equação da Passo 6:
1 + 3 - 4 = 0.
A igualdade fica 0=0, que é verdadeira independentemente de k. Em outras palavras não há nenhuma restrição sobre a coordenada final k: para qualquer k\in\mathbb{R} existe s,t,u que produzem (1,3,4,k). Por exemplo podemos tomar
s=\frac{x_3}{3}=\frac{4}{3},\qquad t=x_1-s=1-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3},\qquad u = k - s = k-\frac{4}{3},
o que de fato dá (1,3,4,k)=s v_1 + t v_2 + u v_3.

Resposta

G(A)=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4 \mid x_1+x_2-x_3=0\}.
Qualquer k\in\mathbb{R} (ou seja, todos os k real) satisfazem (1,3,4,k)\in G(A).

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