Determine o subespaço gerado pelo conjunto de matrizes [cc2 & -3 1 & 1],[cc4 & -6 2 & 2],[cc0 & 2 1 & 0] contido no Espaço Vetorial de matrizes de ordem 2.

Passo 1

O enunciado pede o subespaço gerado pelas matrizes
A=2 & -31 & 1,
B=4 & -62 & 2 e
C=0 & 21 & 0
no espaço vetorial M2(R). Para resolver, vamos usar definição de combinação linear, detectar dependências lineares e extrair uma base do gerador.

Passo 2

Observamos que
B = 2,A = 22 & -31 & 1 =4 & -62 & 2,
logo B não acrescenta dimensão nova ao subespaço gerado. Então basta olhar para A e C.

Passo 3

Para ver se A e C são independentes, suponha
alpha A + beta C = 0, alpha,betainR
Isso dá o sistema de equações pela igualdade de componentes:
2alpha + 0beta = 0, -3alpha + 2beta = 0, alpha + beta = 0, alpha + 0beta = 0
Da primeira e última equações vem alpha=0. Substituindo em -3alpha+2beta=0 obtemos 2beta=0, logo beta=0. Assim são independentes.

Passo 4

Concluímos que A,C é uma base do subespaço gerado pelos três. Qualquer matriz desse subespaço é combinação linear
alpha A + beta C =2alpha & -3alphaalpha & alpha + 0 & 2betabeta & 0 = 2alpha & -3alpha+2betaalpha+beta & alpha,
com alpha,betainR.

Resposta

O subespaço gerado é
SpanA,C =l2alpha & -3alpha+2betaalpha+beta & alpham|alpha,betainRr

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