Determine o subespaço S do espaço V, gerado pelos vetores de A, em cada caso.
V=M2 times 2(R), A=v1, v2, v3, onde
v1=[rr 2 & -3 1 & 1 ], v2=[rr 4 & -6 2 & 2 ] e v3=[ll 0 & 2 1 & 0 ]

Passo 1

O enunciado pede o subespaço Ssubset V=M2times2(R) gerado pelos vetores
v1=2 & -31 & 1, v2=4 & -62 & 2, v3=0 & 21 & 0
Para achar S=spanv1,v2,v3 precisamos identificar dependências lineares e extrair uma base.

Passo 2

Observando v2 e v1, vemos que
2,v1 =22 & -31 & 1 =4 & -62 & 2 =v2
Logo v2 é múltiplo de v1 e não agrega dimensão extra a S.

Passo 3

Restam então os vetores v1,v3. Suponha que exista alphainR tal que v3=alpha,v1. Isso exigiria
0 & 21 & 0 =alpha2 & -31 & 1 =2alpha & -3alphaalpha & alpha,
o que não tem solução comum para todas as entradas. Portanto v1 e v3 são linearmente independentes.

Passo 4

Concluímos que v1,v3 é uma base de S. Assim
S=spanv1,v3 =la,v1+b,v3mid a,binRr,
e dim S=2.

Passo 5

Para explicitar a forma genérica de um elemento de , escrevemos
com .

Resposta

O subespaço gerado por é
e uma base de é .

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