Determine o subespaço S gerado pelos vetores v1=(1,-2,0) e v2=(2,-2,-1), e ache o valor de k para que o vetor (2, k, 2) pertença a S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o subespaço S gerado pelos vetores v1=(1,-2,0) e v2=(2,-2,-1). Depois, precisamos achar o valor de k tal que o vetor (2, k, 2) faça parte desse subespaço S. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre combinações lineares de vetores e entender o que é um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o subespaço S gerado por v1 e v2. Isso quer dizer que qualquer vetor em S pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores. Matemáticamente, qualquer vetor u em S pode ser escrito como:
u = a cdot v1 + b cdot v2
Onde a e b são escalares (números reais).

Passo 3

Vamos então escrever a combinação linear dos vetores v1 e v2:
u = a cdot (1, -2, 0) + b cdot (2, -2, -1) = (a + 2b, -2a - 2b, 0 - b) = (a + 2b, -2a - 2b, -b)
Então, qualquer vetor em S tem a forma (a + 2b, -2a - 2b, -b).

Passo 4

Agora, queremos que o vetor (2, k, 2) pertença a S. Isso significa que devemos encontrar valores de a e b que satisfaçam as seguintes equações:
a + 2b = 2 (1) -2a - 2b = k (2) -b = 2 (3)

Passo 5

Vamos resolver a equação (3) para encontrar b:
-b = 2 Rightarrow b = -2
Agora, substituímos b = -2 na equação (1) para encontrar a:
a + 2(-2) = 2 a - 4 = 2 a = 6

Passo 6

Com os valores de a = 6 e b = -2, vamos substituir na equação (2) para encontrar k:
-2(6) - 2(-2) = k -12 + 4 = k k = -8

Resposta

O subespaço S é composto por todas as combinações lineares de (1,-2,0) e (2,-2,-1), ou seja, S = a cdot (1,-2,0) + b cdot (2,-2,-1) ,|, a, b in R . O valor de k para que o vetor (2, k, 2) pertença a S é k = -8.

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