Mostre que as matrizes a, b e c são LI.
a=[ll1 & 1 0 & 0], b=[ll1 & 0 0 & 1], c=[ll1 & 1 1 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que as matrizes e são linearmente independentes (LI). Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre combinação linear e independência linear. Para resolver, vamos precisar saber como verificar se um conjunto de vetores (ou matrizes, no caso) é linearmente independente, ou seja, se a única combinação linear que dá a matriz zero é a combinação trivial onde todos os coeficientes são zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa as matrizes serem linearmente independentes. Dizemos que as matrizes k1 a + k2 b + k3 c = 0 são LI se a única solução para a equação:
é . Aqui, são escalares (números reais) e é a matriz zero.

Passo 3

Vamos então montar essa equação usando as matrizes fornecidas:
k1 1 & 1 0 & 0 + k2 1 & 0 0 & 1 + k3 1 & 1 1 & 1 = 0 & 0 0 & 0

Passo 4

Vamos somar as matrizes multiplicadas pelos escalares:
k1 cdot 1 + k2 cdot 1 + k3 cdot 1 & k1 cdot 1 + k2 cdot 0 + k3 cdot 1 k1 cdot 0 + k2 cdot 0 + k3 cdot 1 & k1 cdot 0 + k2 cdot 1 + k3 cdot 1 = 0 & 0 0 & 0
Isso resulta em um sistema de equações:
k1 + k2 + k3 = 0 k1 + k3 = 0 k3 = 0 k2 + k3 = 0

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da terceira equação: .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. Substituindo na quarta equação: .
  4. A primeira equação confirma: .

Passo 6

Como a única solução é , concluímos que as matrizes são linearmente independentes.

Resposta

As matrizes e são linearmente independentes.

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