Determine o subespaço vetorial do \mathbb{R}^{4} gerado pelos vetores \{(1,1,-2,1),(-1,3,0,4),(2,-1,5,2)\}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4} gerado pelos vetores
v_1=\(1,1,-2,1\),\qquad v_2=\(-1,3,0,4\),\qquad v_3=\(2,-1,5,2\).
Informações dadas:
  • Três vetores em \mathbb{R}^{4}: \,v_1,v_2,v_3.
  • Pedido: descrever o subespaço gerado por eles, isto é \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}.

Passo 2

O que vamos fazer (apenas enunciado do procedimento): verificar se os vetores são linearmente independentes (para saber a dimensão da geração) e obter uma descrição do subespaço (base / forma paramétrica e também forma implícita como equação linear, se possível). Começamos montando a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3:
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\[4pt] 1 & 3 & -1\\[4pt] -2 & 0 & 5\\[4pt] 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}.
Cada coluna é um dos vetores geradores.]

Passo 3

Agora aplicamos eliminação por linhas (Gauss) para achar o posto (rank) de A e verificar independência. Começamos com
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\[4pt] 1 & 3 & -1\\[4pt] -2 & 0 & 5\\[4pt] 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}.
Usamos R_1 como pivô e eliminamos as entradas abaixo:
  • R_2 \leftarrow R_2 - R_1 R_2=[0\;\;4\;\;-3].
  • R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1 R_3=[0\;\;-2\;\;9].
  • R_4 \leftarrow R_4 - R_1 R_4=[0\;\;5\;\;0].
Resultado:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 4 & -3\\[4pt] 0 & -2 & 9\\[4pt] 0 & 5 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Continuamos com pivô em R_2 (coluna 2). Normalizamos R_2 e eliminamos as outras entradas na coluna 2:
  • R_2 \leftarrow \dfrac{1}{4}R_2 = [0\;1\;-\tfrac{3}{4}].
  • R_1 \leftarrow R_1 + R_2 porque R_1 tem -1 em coluna 2: R_1=[1\;0\;\tfrac{5}{4}] (pois 2 + (-\tfrac{3}{4})=\tfrac{5}{4}).
  • R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2 R_3=[0\;0\;\tfrac{15}{2}] (pois 9+2\cdot(-\tfrac{3}{4})=9-\tfrac{3}{2}=\tfrac{15}{2}).
  • R_4 \leftarrow R_4 - 5R_2 R_4=[0\;0\;\tfrac{15}{4}].
Agora a matriz é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & \tfrac{5}{4}\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{3}{4}\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{15}{2}\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{15}{4} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Pivot em coluna 3 usando R_3. Normalizamos R_3 e eliminamos a coluna 3 nas linhas acima e abaixo:
  • R_3 \leftarrow \dfrac{2}{15}R_3 = [0\;0\;1].
  • R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{5}{4}R_3 = [1\;0\;0].
  • R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{3}{4}R_3 = [0\;1\;0].
  • R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac{15}{4}R_3 = [0\;0\;0].
A forma reduzida (RREF parcial) é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Interpretação do resultado da eliminação:
  • Existem 3 pivôs (um em cada coluna), logo \operatorname{rank}(A)=3.
  • Como temos 3 vetores e o posto é 3, os vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes.
  • Consequência: \{v_1,v_2,v_3\} é uma base do subespaço que gera (ou seja, esses três vetores já são uma base) e a dimensão do subespaço é 3. Portanto o subespaço é um subespaço tridimensional de \mathbb{R}^4.

Passo 7

Agora vamos dar descrições alternativas úteis do subespaço:
  1. Forma geradora (já óbvia): \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}.
  2. Forma paramétrica: como é um subespaço de dimensão 3 em \mathbb{R}^4, pode ser escrito com três parâmetros. Tomando parâmetros s,t,u\in\mathbb{R} correspondendo aos coeficientes nas combinações lineares, qualquer vetor x do subespaço é
x = s\,v_1 + t\,v_2 + u\,v_3.
Escrevendo em coordenadas, usando v_1,v_2,v_3:
x=\bigl(s - t + 2u,\; s + 3t - u,\; -2s + 0t +5u,\; s + 4t +2u\bigr).
Podemos reescrever isolando as variáveis livres s,t,u:
x = \begin{pmatrix}-3s - t + 2u\\[2pt] s\\[2pt] t\\[2pt] u\end{pmatrix}
se escolhermos outra parametrização; ambas descrevem o mesmo subespaço. (O importante é que há três parâmetros.)]

Passo 8

Forma implícita (equação linear que define o hiperplano de dimensão 3): como o subespaço tem dimensão 3\) em \(\mathbb{R}^4\), ele é o núcleo (solução homogênea) de uma única equação linear não-trivial. Para encontrar um vetor normal \(n=(a,b,c,d)\) ortogonal a \(v_1,v_2,v_3\) resolvemos \[n\cdot v_1=0,\qquad n\cdot v_2=0,\qquad n\cdot v_3=0.
Isso leva ao sistema
\begin{cases} a + b -2c + d = 0,\\[4pt] - a + 3b + 0c + 4d = 0,\\[4pt] 2a - b +5c +2d = 0. \end{cases}
Resolvendo esse sistema por eliminação (passos omitidos aqui pois a mecânica é análoga ao que já foi mostrado), obtemos uma solução não trivial proporcional a
n = \(-1,-3,-1,2.]
Portanto a equação linear que define o subespaço é
(-1,-3,-1,2)\cdot (x_1,x_2,x_3,x_4)=0,
ou seja
- x_1 -3x_2 - x_3 + 2x_4 = 0.
Essa equação descreve exatamente o mesmo subespaço que \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}.]

Passo 9

Resumo final (o que interessa numa prova): os três vetores são independentes, formam uma base do subespaço gerado e a dimensão é 3. Podemos dar tanto a forma geradora, quanto a forma implícita do subespaço.

Resposta

Base: \{(1,1,-2,1),\;(-1,3,0,4),\;(2,-1,5,2)\}
Dimensão: 3
Forma implícita: \{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4 \mid -x_1 -3x_2 - x_3 + 2x_4 = 0\}

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