Pedido: descrever o subespaço gerado por eles, isto é \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}.
Passo 2
O que vamos fazer (apenas enunciado do procedimento): verificar se os vetores são linearmente independentes (para saber a dimensão da geração) e obter uma descrição do subespaço (base / forma paramétrica e também forma implícita como equação linear, se possível). Começamos montando a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3:
Existem 3 pivôs (um em cada coluna), logo \operatorname{rank}(A)=3.
Como temos 3 vetores e o posto é 3, os vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes.
Consequência: \{v_1,v_2,v_3\} é uma base do subespaço que gera (ou seja, esses três vetores já são uma base) e a dimensão do subespaço é 3. Portanto o subespaço é um subespaço tridimensional de \mathbb{R}^4.
Passo 7
Agora vamos dar descrições alternativas úteis do subespaço:
Forma geradora (já óbvia): \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}.
Forma paramétrica: como é um subespaço de dimensão 3 em \mathbb{R}^4, pode ser escrito com três parâmetros. Tomando parâmetros s,t,u\in\mathbb{R} correspondendo aos coeficientes nas combinações lineares, qualquer vetor x do subespaço é
x = s\,v_1 + t\,v_2 + u\,v_3.
Escrevendo em coordenadas, usando v_1,v_2,v_3:
x=\bigl(s - t + 2u,\; s + 3t - u,\; -2s + 0t +5u,\; s + 4t +2u\bigr).
Podemos reescrever isolando as variáveis livres s,t,u:
x = \begin{pmatrix}-3s - t + 2u\\[2pt] s\\[2pt] t\\[2pt] u\end{pmatrix}
se escolhermos outra parametrização; ambas descrevem o mesmo subespaço. (O importante é que há três parâmetros.)]
Passo 8
Forma implícita (equação linear que define o hiperplano de dimensão 3): como o subespaço tem dimensão 3\) em \(\mathbb{R}^4\), ele é o núcleo (solução homogênea) de uma única equação linear não-trivial. Para encontrar um vetor normal \(n=(a,b,c,d)\) ortogonal a \(v_1,v_2,v_3\) resolvemos
\[n\cdot v_1=0,\qquad n\cdot v_2=0,\qquad n\cdot v_3=0.
Isso leva ao sistema
\begin{cases} a + b -2c + d = 0,\\[4pt] - a + 3b + 0c + 4d = 0,\\[4pt] 2a - b +5c +2d = 0. \end{cases}
Resolvendo esse sistema por eliminação (passos omitidos aqui pois a mecânica é análoga ao que já foi mostrado), obtemos uma solução não trivial proporcional a
n = \(-1,-3,-1,2.]
Portanto a equação linear que define o subespaço é
(-1,-3,-1,2)\cdot (x_1,x_2,x_3,x_4)=0,
ou seja
- x_1 -3x_2 - x_3 + 2x_4 = 0.
Essa equação descreve exatamente o mesmo subespaço que \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}.]
Passo 9
Resumo final (o que interessa numa prova): os três vetores são independentes, formam uma base do subespaço gerado e a dimensão é 3. Podemos dar tanto a forma geradora, quanto a forma implícita do subespaço.