Determine os subespaços gerados pelos vetores v1=[cc-1 & 0 0 & 1], v2=[cc1 & -1 0 & 0] e v3=[ll0 & 1 1 & 1].

Passo 1

O enunciado nos dá três matrizes em M2times2(R):
v1 = -1 & 00 & 1, v2 = 1 & -10 & 0, v3 = 0 & 11 & 1,
e pede o subespaço gerado por elas.
Conteúdo: espaços vetoriais, geradores, combinação linear, dependência e independência linear, base e dimensão.

Passo 2

Vamos ver se
isto é, em coordenadas onde
Isso gera o sistema
Da terceira equação leva a . Da primeira leva a . Portanto só há solução trivial, logo são LI.

Passo 3

Como são três vetores LI em M2times2(R) (que tem dimensão 4), o espaço gerado por eles tem dimensão 3 e é uma subvariedade de dimensão 3. Uma base desse subespaço é justamente v1,v2,v3.

Passo 4

Para descrever o subespaço, escrevemos a combinação geral
Chamando , temos
Eliminando em função de , obtém-se
e assim
]

Passo 5

Logo o subespaço é
que é justamente um hiperplano de dimensão em .

Resposta

O subespaço gerado por é
com base e dimensão .

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