Uma urna contém 8 bolas brancas e 5 pretas. De quantos modos é possível tirar 6 bolas, das quais pelo menos 3 sejam pretas?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma urna com 8 bolas brancas e 5 bolas pretas e queremos extrair 6 bolas sem reposição, exigindo que pelo menos 3 sejam pretas. Esse é um problema de contagem usando combinações (hipergeométrico).

Passo 2

Seja k o número de bolas pretas retiradas; a condição é k>=3. Para cada k, o número de modos de escolher k pretas e 6-k brancas é
binom5k,binom86-k
Logo, a quantidade total desejada é
sumk=3^5binom5k,binom86-k

Passo 3

Vamos calcular cada termo da soma:
Para k=3:
binom53,binom83=10cdot56=560
Para k=4:
binom54,binom82=5cdot28=140
Para k=5:
binom55,binom81=1cdot8=8

Passo 4

Somando esses valores temos
560 + 140 + 8 = 708

Resposta

708

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