Determine [T]_{\beta}^{\alpha} sendo T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow R^{2} ; T(x, y, z)=(-2 x+y-z, 5 x+3 z) com \{(1,1,1),(1,0,-1),(0,0,3)\} e \beta=\{(1,0),(1,-1)\}. bases do \mathbb{R}^{3} e do \mathbb{R}^{2} respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de T relativa à base \alpha do domínio \mathbb{R}^3 e à base \beta do contradomínio \mathbb{R}^2. Dados:
T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2},\qquad T(x,y,z)=(-2x+y-z,\;5x+3z),
a base \alpha de \mathbb{R}^3 é
\alpha=\{(1,1,1),\;(1,0,-1),\;(0,0,3)\},
e a base \beta de \mathbb{R}^2 é
\beta=\{(1,0),\;(1,-1)\}.
A tarefa: encontrar [T]_{\beta}^{\alpha}, ou seja, a matriz que representa T quando as coordenadas do vetor de entrada estão na base \alpha e as coordenadas do vetor imagem estão na base \beta.

Passo 2

Estratégia clara e prática (o que você fará na prova): aplicar T a cada vetor da base \alpha e escrever o resultado como combinação linear dos vetores da base \beta. As coordenadas obtidas serão as colunas de [T]_{\beta}^{\alpha}. Não tem mistério: coluna j = coordenadas de T(\alpha_j) em \beta.

Passo 3

Calcular T no primeiro vetor de \alpha, (1,1,1). Substituindo em T(x,y,z):
T(1,1,1)=(-2\cdot1+1-1,\;5\cdot1+3\cdot1)=(-2+1-1,\;5+3)=(-2,\;8).

Passo 4

Calcular T no segundo vetor de \alpha, (1,0,-1):
T(1,0,-1)=(-2\cdot1+0-(-1),\;5\cdot1+3\cdot(-1))=(-2+1,\;5-3)=(-1,\;2).

Passo 5

Calcular T no terceiro vetor de \alpha, (0,0,3):
T(0,0,3)=(-2\cdot0+0-3,\;5\cdot0+3\cdot3)=(-3,\;9).

Passo 6

Agora preciso escrever cada imagem v=(v_x,v_y)\) como combinação dos vetores da base \(\beta\): \[(1,0)=b_1,\qquad(1,-1)=b_2.
Procuro escalares c_1,c_2 tais que
v=c_1 b_1 + c_2 b_2 = c_1(1,0)+c_2(1,-1)=(c_1+c_2,\;-c_2).
Isso gera o sistema para as componentes:
\begin{cases} c_1+c_2 = v_x,\\[4pt] -c_2 = v_y. \end{cases}
Da segunda equação vem c_2 = -v_y\]. Substituindo na primeira: \[c_1 = v_x - c_2 = v_x - (-v_y)=v_x+v_y.\] Conclusão: coordenadas de \(v na base \beta são
[v]_{\beta}=\begin{pmatrix}c_1\\[4pt]c_2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}v_x+v_y\\[4pt]-v_y\end{pmatrix}.
Este é um truque rápido: primeiro coeficiente = soma das componentes, segundo = negativo da segunda componente.]

Passo 7

Aplicar a fórmula a cada imagem encontrada.
Para T(1,1,1)=(-2,8): v_x=-2,\;v_y=8. Então
[T(1,1,1)]_{\beta}=\begin{pmatrix}-2+8\\[4pt]-8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\[4pt]-8\end{pmatrix}.
Para T(1,0,-1)=(-1,2): v_x=-1,\;v_y=2. Então
[T(1,0,-1)]_{\beta}=\begin{pmatrix}-1+2\\[4pt]-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Para T(0,0,3)=(-3,9): v_x=-3,\;v_y=9. Então
[T(0,0,3)]_{\beta}=\begin{pmatrix}-3+9\\[4pt]-9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\[4pt]-9\end{pmatrix}.]

Passo 8

Montar a matriz [T]_{\beta}^{\alpha} usando as coordenadas obtidas como colunas, na ordem dos vetores de \alpha. Assim:
[T]_{\beta}^{\alpha}= \begin{pmatrix} 6 & 1 & 6\\[4pt] -8 & -2 & -9 \end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix} 6 & 1 & 6\\\\ -8 & -2 & -9 \end{pmatrix}

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