(4) Consação linear T_{A} dada por sua matriz canônica A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 5 \\\\ 0 & 3 & -4\end{array}\right]. Determine:
(a) (2.5) A transformação linear T_{A}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow R^{2}.
(b) (2.5) O núcleo de T_{A} e a sua dimensão.
(c) (2.5) A imagem de T_{A} e a sua dimensão.
(d) (1.5) Avalie se T_{A} é injetora e/ou sobrejetora.
(e) (1.0) Verifique se o TDNI (Teorema da Dimensão do Núcleo e da Imagem) está satisfeito.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T_{A}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} cuja matriz canônica é
As perguntas são:
(a) Escrever explicitamente T_{A} (ou seja, a fórmula T_{A}(x) para um vetor x\in\mathbb{R}^{3}).
(b) Determinar o núcleo de T_{A} e sua dimensão.
(c) Determinar a imagem de T_{A} e sua dimensão.
(d) Dizer se T_{A} é injetora e/ou sobrejetora.
(e) Verificar se o Teorema da Dimensão do Núcleo e da Imagem (TDNI, também chamado de teorema do posto-nulidade) está satisfeito.]
Passo 2
Como calcular T_{A}: para um vetor genérico \mathbf{x}=(x_{1},x_{2},x_{3})\in\mathbb{R}^{3} multiplica-se a matriz A por \mathbf{x}. A multiplicação é feita por produto escalar de cada linha de A com o vetor coluna \mathbf{x}. Portanto
Fazendo as contas linha a linha: a primeira coordenada é 1\cdot x_{1}+(-1)\cdot x_{2}+5\cdot x_{3} e a segunda é 0\cdot x_{1}+3\cdot x_{2}+(-4)\cdot x_{3}. Logo
Encontrar o núcleo \ker T_{A}\) significa resolver \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\). Escrevendo as equações obtidas das linhas de \(A\):
\[\begin{cases} x_{1}-x_{2}+5x_{3}=0,\\[4pt] 3x_{2}-4x_{3}=0. \end{cases}
Da segunda equação obtemos 3x_{2}-4x_{3}=0\Rightarrow x_{2}=\dfrac{4}{3}x_{3}\]. Tome \(x_{3}=t como parâmetro livre. Então x_{2}=\dfrac{4}{3}t. Substituindo na primeira equação:
A dimensão do núcleo é \dim(\ker T_{A})=1, porque o núcleo é gerado por um único vetor não-nulo.]
Passo 4
A imagem \mathrm{Im}\,T_{A}\) (também chamada de espaço coluna de \(A\)) é o subespaço de \(\mathbb{R}^{2}\) gerado pelas colunas de \(A\):
\[\mathrm{Im}\,T_{A}=\operatorname{span}\{\text{col}_1,\text{col}_2,\text{col}_3\} =\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}5\\[4pt]-4\end{pmatrix}\right\}.
Para saber a dimensão basta verificar dependências lineares entre as colunas. Tentamos expressar \text{col}_3 como combinação de \text{col}_1 e \text{col}_2. Procuramos a,b tais que
ou seja, \text{col}_3 é combinação linear de \text{col}_1 e \text{col}_2. Portanto as colunas são geradas por \text{col}_1 e \text{col}_2. Agora verificamos se \text{col}_1 e \text{col}_2 são linearmente independentes: \text{col}_1=(1,0) não é múltiplo de \text{col}_2=(-1,3), então são independentes. Conclusão:
Como há duas vetores independentes, \dim(\mathrm{Im}\,T_{A})=2. Como \dim(\mathbb{R}^{2})=2, segue que \mathrm{Im}\,T_{A}=\mathbb{R}^{2} (ou seja, gera todo o codomínio).]
Passo 5
Decisões sobre injetividade e sobrejetividade, com base nos resultados:
Injetividade: T_{A} é injetora se e somente se \ker T_{A}=\{\mathbf{0}\}. Aqui \ker T_{A} tem dimensão 1 (não é trivial), logo T_{A} não é injetora.
Sobrejetividade: T_{A} é sobrejetora se \mathrm{Im}\,T_{A}=\mathbb{R}^{2}. Encontramos \mathrm{Im}\,T_{A}=\mathbb{R}^{2}, logo T_{A} é sobrejetora.
Observação útil (intuitiva): uma aplicação linear de dimensão maior para menor (\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}) não pode ser injetora se seu núcleo não for nulo; aqui confirmamos isso explicitamente.
Passo 6
Verificação do Teorema da Dimensão do Núcleo e da Imagem (TDNI, posto-nulidade): o teorema afirma
(c) \mathrm{Im}\,T_{A}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\end{pmatrix}\right\}=\mathbb{R}^{2},\quad \dim(\mathrm{Im}\,T_{A})=2.
(d) T_{A} não é injetora; T_{A} é sobrejetora.
(e) Sim: \dim(\ker T_{A})+\dim(\mathrm{Im}\,T_{A})=1+2=3=\dim(\mathbb{R}^{3}).]