(4) Consação linear T_{A} dada por sua matriz canônica A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 5 \\\\ 0 & 3 & -4\end{array}\right]. Determine:
(a) (2.5) A transformação linear T_{A}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow R^{2}.
(b) (2.5) O núcleo de T_{A} e a sua dimensão.
(c) (2.5) A imagem de T_{A} e a sua dimensão.
(d) (1.5) Avalie se T_{A} é injetora e/ou sobrejetora.
(e) (1.0) Verifique se o TDNI (Teorema da Dimensão do Núcleo e da Imagem) está satisfeito.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T_{A}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} cuja matriz canônica é
A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 5 \\[4pt] 0 & 3 & -4\end{pmatrix}.
As perguntas são:
(a) Escrever explicitamente T_{A} (ou seja, a fórmula T_{A}(x) para um vetor x\in\mathbb{R}^{3}).
(b) Determinar o núcleo de T_{A} e sua dimensão.
(c) Determinar a imagem de T_{A} e sua dimensão.
(d) Dizer se T_{A} é injetora e/ou sobrejetora.
(e) Verificar se o Teorema da Dimensão do Núcleo e da Imagem (TDNI, também chamado de teorema do posto-nulidade) está satisfeito.]

Passo 2

Como calcular T_{A}: para um vetor genérico \mathbf{x}=(x_{1},x_{2},x_{3})\in\mathbb{R}^{3} multiplica-se a matriz A por \mathbf{x}. A multiplicação é feita por produto escalar de cada linha de A com o vetor coluna \mathbf{x}. Portanto
T_{A}(\mathbf{x})=A\mathbf{x}= \begin{pmatrix}1 & -1 & 5 \\[4pt] 0 & 3 & -4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt] x_{2}\\[4pt] x_{3}\end{pmatrix}.
Fazendo as contas linha a linha: a primeira coordenada é 1\cdot x_{1}+(-1)\cdot x_{2}+5\cdot x_{3} e a segunda é 0\cdot x_{1}+3\cdot x_{2}+(-4)\cdot x_{3}. Logo
T_{A}(x_{1},x_{2},x_{3})=\begin{pmatrix}x_{1}-x_{2}+5x_{3}\\[4pt] 3x_{2}-4x_{3}\end{pmatrix}.
Uma outra visão útil (que será usada mais adiante) é escrever T_{A}(\mathbf{x}) como combinação linear das colunas de A:
\text{col}_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},\quad \text{col}_2=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\end{pmatrix},\quad \text{col}_3=\begin{pmatrix}5\\[4pt]-4\end{pmatrix},
e
T_{A}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}\,\text{col}_1 + x_{2}\,\text{col}_2 + x_{3}\,\text{col}_3.]

Passo 3

Encontrar o núcleo \ker T_{A}\) significa resolver \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\). Escrevendo as equações obtidas das linhas de \(A\): \[\begin{cases} x_{1}-x_{2}+5x_{3}=0,\\[4pt] 3x_{2}-4x_{3}=0. \end{cases}
Da segunda equação obtemos 3x_{2}-4x_{3}=0\Rightarrow x_{2}=\dfrac{4}{3}x_{3}\]. Tome \(x_{3}=t como parâmetro livre. Então x_{2}=\dfrac{4}{3}t. Substituindo na primeira equação:
x_{1}-\dfrac{4}{3}t+5t=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}+\dfrac{11}{3}t=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=-\dfrac{11}{3}t.
Assim os vetores do núcleo têm a forma
\mathbf{x}=t\begin{pmatrix}-\dfrac{11}{3}\\[4pt]\dfrac{4}{3}\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Para evitar frações, reescrevemos com outro parâmetro s=t/3, obtendo
\mathbf{x}=s\begin{pmatrix}-11\\[4pt]4\\[4pt]3\end{pmatrix},\quad s\in\mathbb{R}.
Portanto
\ker T_{A}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}-11\\[4pt]4\\[4pt]3\end{pmatrix}\right\}.
A dimensão do núcleo é \dim(\ker T_{A})=1, porque o núcleo é gerado por um único vetor não-nulo.]

Passo 4

A imagem \mathrm{Im}\,T_{A}\) (também chamada de espaço coluna de \(A\)) é o subespaço de \(\mathbb{R}^{2}\) gerado pelas colunas de \(A\): \[\mathrm{Im}\,T_{A}=\operatorname{span}\{\text{col}_1,\text{col}_2,\text{col}_3\} =\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}5\\[4pt]-4\end{pmatrix}\right\}.
Para saber a dimensão basta verificar dependências lineares entre as colunas. Tentamos expressar \text{col}_3 como combinação de \text{col}_1 e \text{col}_2. Procuramos a,b tais que
a\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\[4pt]-4\end{pmatrix}.
Isso dá o sistema
\begin{cases} a - b = 5,\\[4pt] 3b = -4. \end{cases}
Da segunda equação b=-\dfrac{4}{3}\]. Logo \(a=5+b=5-\dfrac{4}{3}=\dfrac{11}{3}. Assim
\begin{pmatrix}5\\[4pt]-4\end{pmatrix}=\dfrac{11}{3}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}-\dfrac{4}{3}\begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\end{pmatrix},
ou seja, \text{col}_3 é combinação linear de \text{col}_1 e \text{col}_2. Portanto as colunas são geradas por \text{col}_1 e \text{col}_2. Agora verificamos se \text{col}_1 e \text{col}_2 são linearmente independentes: \text{col}_1=(1,0) não é múltiplo de \text{col}_2=(-1,3), então são independentes. Conclusão:
\mathrm{Im}\,T_{A}=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\end{pmatrix}\right\}.
Como há duas vetores independentes, \dim(\mathrm{Im}\,T_{A})=2. Como \dim(\mathbb{R}^{2})=2, segue que \mathrm{Im}\,T_{A}=\mathbb{R}^{2} (ou seja, gera todo o codomínio).]

Passo 5

Decisões sobre injetividade e sobrejetividade, com base nos resultados:
  • Injetividade: T_{A} é injetora se e somente se \ker T_{A}=\{\mathbf{0}\}. Aqui \ker T_{A} tem dimensão 1 (não é trivial), logo T_{A} não é injetora.
  • Sobrejetividade: T_{A} é sobrejetora se \mathrm{Im}\,T_{A}=\mathbb{R}^{2}. Encontramos \mathrm{Im}\,T_{A}=\mathbb{R}^{2}, logo T_{A} é sobrejetora.
Observação útil (intuitiva): uma aplicação linear de dimensão maior para menor ( \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}) não pode ser injetora se seu núcleo não for nulo; aqui confirmamos isso explicitamente.

Passo 6

Verificação do Teorema da Dimensão do Núcleo e da Imagem (TDNI, posto-nulidade): o teorema afirma
\dim(\ker T_{A})+\dim(\mathrm{Im}\,T_{A})=\dim(\mathbb{R}^{3}).
Substituindo os valores encontrados: 1 + 2 = 3, que é exatamente \dim(\mathbb{R}^{3}). Portanto o TDNI está satisfeito.

Resposta

(a) T_{A}(x_{1},x_{2},x_{3})=\displaystyle\begin{pmatrix}x_{1}-x_{2}+5x_{3}\\[6pt]3x_{2}-4x_{3}\end{pmatrix}.
(b) \ker T_{A}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}-11\\[4pt]4\\[4pt]3\end{pmatrix}\right\},\quad \dim(\ker T_{A})=1.
(c) \mathrm{Im}\,T_{A}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\end{pmatrix}\right\}=\mathbb{R}^{2},\quad \dim(\mathrm{Im}\,T_{A})=2.
(d) T_{A} não é injetora; T_{A} é sobrejetora.
(e) Sim: \dim(\ker T_{A})+\dim(\mathrm{Im}\,T_{A})=1+2=3=\dim(\mathbb{R}^{3}).]

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