Suponha que T \in \mathcal{L}\left(\mathcal{P}_{5}(\mathbb{R})\right) e N\left(T^{\prime}\right)=\operatorname{span}\{\varphi\}, onde \varphi é o funcional linear em \mathcal{P}_{5}(\mathbb{R}) definido por \varphi(p)=p(8). Prove que
\operatorname{Im}(T)=\left\{p \in \mathcal{P}_{5}(\mathbb{R}) \mid p(8)=0\right\} .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Temos T\in\mathcal{L}\big(\mathcal{P}_{5}(\mathbb{R})\big), ou seja, T é um operador linear em \mathcal{P}_{5}(\mathbb{R}).
  • Foi dada a igualdade do núcleo do mapa dual: N\big(T'\big)=\operatorname{span}\{\varphi\},onde \varphi é o funcional avaliação em 8, definido por \varphi(p)=p(8) para todo p\in\mathcal{P}_{5}(\mathbb{R}).
  • O que nos pedem provar é: \operatorname{Im}(T)=\left\{p\in\mathcal{P}_{5}(\mathbb{R})\mid p(8)=0\right\}.
Lista resumida dos dados relevantes:
  • Espaço vetorial V=\mathcal{P}_{5}(\mathbb{R}) tem dimensão 6.
  • T:V\to V é linear.
  • T':V'\to V' é o mapa dual (definido por T'(\psi)=\psi\circ T para \psi\in V').
  • N(T') é a reta gerada por \varphi (ou seja, todos os múltiplos escalares de \varphi).
O objetivo é mostrar a igualdade entre \operatorname{Im}(T) e o conjunto dos polinômios que se anulam em 8.

Passo 2

Vou mostrar primeiro a relação entre N(T') e funções que se anulam sobre \operatorname{Im}(T).
Definição usada (explicada): o mapa dual T' é dado por
T':V'\to V',\qquad T'(\psi)=\psi\circ T.
Assim, dizer que \psi\in N(T') significa que T'(\psi)=0, isto é,
\psi\circ T=0,
ou seja, \psi(T(x))=0 para todo x\in V. Em palavras: todo funcional que pertence a N(T') anula toda imagem de T. Esse conjunto de funcionais é chamado, em linguagem técnica, do anulador (ou annihilator) de \operatorname{Im}(T).
Aplicando isso ao nosso caso: como N(T')=\operatorname{span}\{\varphi\}, temos que \varphi\in N(T'). Portanto \varphi\circ T=0, isto é,
\varphi\big(T(x)\big)=0\quad\text{para todo }x\in V.

Passo 3

A partir do passo anterior deduzo uma inclusão simples mas essencial.
Para qualquer y\in\operatorname{Im}(T) existe x\in V com y=T(x). Como \varphi\circ T=0, segue que
\varphi(y)=\varphi\big(T(x)\big)=0.
Mas \varphi(y)=y(8) por definição de \varphi. Logo todo elemento da imagem de T satisfaz y(8)=0. Em notação:
\operatorname{Im}(T)\subseteq \{p\in V\mid p(8)=0\}.
Aqui já temos metade da igualdade pedida: a imagem de T está contida no conjunto dos polinômios que se anulam em 8.

Passo 4

Agora vou comparar dimensões para concluir que a inclusão do passo anterior é, na verdade, igualdade.
Primeiro uma observação sobre \varphi: \varphi não é o funcional zero (por exemplo, a constante 1 tem \varphi(1)=1\neq0), então \varphi é um funcional linear não nulo em um espaço de dimensão 6. Para qualquer funcional linear não nulo \psi em um espaço de dimensão 6 temos
\dim\big(\ker\psi\big)=5,
porque um funcional não nulo tem núcleo de codimensão 1.
Aplicando isso a \varphi obtemos
\dim\{p\in V\mid p(8)=0\}=\dim\big(\ker\varphi\big)=5.

Passo 5

Agora calculo a dimensão de \operatorname{Im}(T). Uso o fato sobre o mapa dual e imagens:
Considere o espaço \operatorname{Im}(T')\subseteq V'. Pelo teorema da dimensão (ou pelo teorema do posto-nulidade aplicado a T'),
\dim\operatorname{Im}(T')=\dim V'-\dim N(T').
Como \dim V'=\dim V=6 e \dim N(T')=1 (dado), segue que
\dim\operatorname{Im}(T')=6-1=5.
Agora uma observação conceitual que explica por que \dim\operatorname{Im}(T')=\dim\operatorname{Im}(T): cada funcional da forma \psi\circ T atua essencialmente sobre \operatorname{Im}(T); mais rigorosamente, há um isomorfismo natural entre \operatorname{Im}(T') e (\operatorname{Im}(T))' (o espaço dual de \operatorname{Im}(T)), dado por restringir os funcionais de V a \operatorname{Im}(T). Logo
\dim\operatorname{Im}(T)=\dim(\operatorname{Im}(T))'=\dim\operatorname{Im}(T')=5.
(Essa é uma maneira elegante de ver que posto de T e posto de T' coincidem quando se trata de operadores entre espaços finito-dimensionais.)

Passo 6

Concluo a igualdade usando inclusão e igualdades de dimensão.
Do Passo 3 temos
\operatorname{Im}(T)\subseteq \ker\varphi,
e dos Passos 4 e 5 temos
\dim\operatorname{Im}(T)=5=\dim\ker\varphi.
Do fato geral sobre subespaços: se U\subseteq W são subespaços de um mesmo espaço vetorial e \dim U=\dim W então U=W. Aplicando aqui, obtemos
\operatorname{Im}(T)=\ker\varphi.
Lembrando a definição de \varphi, isto é exatamente
\operatorname{Im}(T)=\{p\in\mathcal{P}_{5}(\mathbb{R})\mid p(8)=0\}.

Resposta

\operatorname{Im}(T)=\left\{p\in\mathcal{P}_{5}(\mathbb{R})\mid p(8)=0\right\}

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