Suponha que
e
, onde
é o funcional linear em
definido por
. Prove que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Temos
, ou seja, é um operador linear em . - Foi dada a igualdade do núcleo do mapa dual:
onde é o funcional avaliação em , definido por para todo . - O que nos pedem provar é:
Lista resumida dos dados relevantes:
- Espaço vetorial
tem dimensão . -
é linear. -
é o mapa dual (definido por para ). -
é a reta gerada por (ou seja, todos os múltiplos escalares de ).
O objetivo é mostrar a igualdade entre
e o conjunto dos polinômios que se anulam em
.
Passo 2
Vou mostrar primeiro a relação entre
e funções que se anulam sobre
.
Definição usada (explicada): o mapa dual
é dado por
Assim, dizer que
significa que
, isto é,
ou seja,
para todo
. Em palavras: todo funcional que pertence a
anula toda imagem de
. Esse conjunto de funcionais é chamado, em linguagem técnica, do anulador (ou annihilator) de
.
Aplicando isso ao nosso caso: como
, temos que
. Portanto
, isto é,
Passo 3
A partir do passo anterior deduzo uma inclusão simples mas essencial.
Para qualquer
existe
com
. Como
, segue que
Mas
por definição de
. Logo todo elemento da imagem de
satisfaz
. Em notação:
Aqui já temos metade da igualdade pedida: a imagem de
está contida no conjunto dos polinômios que se anulam em
.
Passo 4
Agora vou comparar dimensões para concluir que a inclusão do passo anterior é, na verdade, igualdade.
Primeiro uma observação sobre
:
não é o funcional zero (por exemplo, a constante
tem
), então
é um funcional linear não nulo em um espaço de dimensão
. Para qualquer funcional linear não nulo
em um espaço de dimensão
temos
porque um funcional não nulo tem núcleo de codimensão
.
Aplicando isso a
obtemos
Passo 5
Agora calculo a dimensão de
. Uso o fato sobre o mapa dual e imagens:
Considere o espaço
. Pelo teorema da dimensão (ou pelo teorema do posto-nulidade aplicado a
),
Como
e
(dado), segue que
Agora uma observação conceitual que explica por que
: cada funcional da forma
atua essencialmente sobre
; mais rigorosamente, há um isomorfismo natural entre
e
(o espaço dual de
), dado por restringir os funcionais de
a
. Logo
(Essa é uma maneira elegante de ver que posto de
e posto de
coincidem quando se trata de operadores entre espaços finito-dimensionais.)
Passo 6
Concluo a igualdade usando inclusão e igualdades de dimensão.
Do Passo 3 temos
e dos Passos 4 e 5 temos
Do fato geral sobre subespaços: se
são subespaços de um mesmo espaço vetorial e
então
. Aplicando aqui, obtemos
Lembrando a definição de
, isto é exatamente