Determine x e y, tal que:
\left[\begin{array}{c}x+y \\\\ 2 x-3 y\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}2 \\\\ -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}9 \\\\ 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para determinar x e y que satisfazem a igualdade de vetores
\begin{pmatrix}x+y \\[4pt] 2x-3y\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 \\[4pt] -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9 \\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\begin{pmatrix}x+y \\[4pt] 2x-3y\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix}2 \\[4pt] -2\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix}9 \\[4pt] 0\end{pmatrix}.
A pergunta explícita é: encontrar os valores de x e y que tornam verdadeira essa igualdade de vetores.]

Passo 2

Primeiro conceito importante (aula rápida): igualdade entre vetores coluna significa igualdade componente a componente. Ou seja, se
\begin{pmatrix}a_1\\\ a_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\\ b_2\end{pmatrix},
então a_1=b_1 e a_2=b_2. Vou aplicar isso à expressão do enunciado.

Passo 3

Calculo a subtração dos vetores no lado esquerdo componente a componente:
\begin{pmatrix}x+y \\[4pt] 2x-3y\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 \\[4pt] -2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x+y-2 \\[4pt] 2x-3y+2\end{pmatrix}.
Igualando esse resultado ao vetor do lado direito, obtemos um sistema de duas equações escalares (uma para cada componente):
x+y-2=9
2x-3y+2=0.]

Passo 4

Reescrevo cada equação numa forma mais simples (isolar constantes no lado direito):
x+y=11
2x-3y=-2.
Agora temos um sistema linear de duas equações com duas incógnitas. Método escolhido: eliminação (explico por que). A eliminação consiste em combinar as equações de modo a anular uma das incógnitas, ficando só com uma equação em uma incógnita. É um método direto e rápido neste caso.

Passo 5

Multiplico a primeira equação por 2 para alinhar os coeficientes de x com a segunda equação:
2(x+y)=2\cdot 11 \quad\Rightarrow\quad 2x+2y=22.
Agora subtraio a segunda equação 2x-3y=-2 da equação 2x+2y=22 para eliminar x:
(2x+2y)-(2x-3y)=22-(-2).

Passo 6

Faço as operações na subtração componente a componente:
2x+2y-2x+3y=22+2.
Os 2x se cancelam e sobra
5y=24.

Passo 7

Agora isolo y:
y=\frac{24}{5}.
Breve comentário: é preferível deixar em fração \frac{24}{5} em vez de decimal, pois frações mantêm exatidão.

Passo 8

Com y encontrado, volto à equação mais simples para achar x. Uso x+y=11:
x=11-y=11-\frac{24}{5}.
Coloco em denominador comum:
x=\frac{55}{5}-\frac{24}{5}=\frac{31}{5}.

Passo 9

Confirmação (checar sempre que puder na prova): calculo as componentes do vetor original com esses valores.
Primeira componente: x+y=\dfrac{31}{5}+\dfrac{24}{5}=\dfrac{55}{5}=11. Subtraindo 2 obtém-se 9 — bate com a primeira componente do vetor direito.
Segunda componente: 2x-3y=2\cdot\dfrac{31}{5}-3\cdot\dfrac{24}{5}=\dfrac{62-72}{5}=\dfrac{-10}{5}=-2. Somando 2 0 — bate com a segunda componente do vetor direito.
Portanto a solução está correta.

Resposta

x=\dfrac{31}{5}
y=\dfrac{24}{5}

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