Determine a taxa máxima de variação da função
no ponto dado e em qual direção ela ocorre.
a)
a)
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
.
O que é pedido:
O que é pedido:
- Determinar a taxa máxima de variação de
no ponto . - Determinar em qual direção essa taxa máxima ocorre.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
. - O ponto onde a taxa deve ser calculada:
.
Passo 2
Conceito importante (o que vamos usar): direção de maior variação está ligada ao gradiente. Vou explicar isso devagarinho.
- A derivada direcional de
no ponto na direção do vetor unitário (ou seja, ) é dada por
Aqui:
-
é o gradiente de no ponto : um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de em . -
é o produto escalar entre vetores. -
Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz, para qualquer vetor unitário
vale
porque
. A igualdade ocorre exatamente quando
é paralelo a
(ou seja, aponta na mesma direção do gradiente).
Conclusão conceitual: a taxa máxima de variação de
em
é
, e ela ocorre na direção do vetor unitário
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
.
- Derivada parcial em relação a
:
Explicação: tratando
como constante,
é linear em
com coeficiente
.
- Derivada parcial em relação a
:
Explicação: usei a regra da potência para
:
, e multipliquei por
.
Passo 4
Avaliar as derivadas parciais no ponto
.
-
Primeiro
. -
Portanto
- E
- Logo o gradiente em
indica quanto
cresce por unidade de no ponto, mantendo fixo; o componente indica quanto cresce por unidade de no ponto, mantendo fixo.])
Passo 5
Calcular a norma do gradiente em (
P
), que é a taxa máxima de variação.
P
), que é a taxa máxima de variação.
Pela explicação do Passo 2, este valor
é precisamente a maior derivada direcional possível em
Passo 6
Determinar a direção (vetor unitário) na qual ocorre essa taxa máxima.
A direção é a do próprio gradiente; o vetor unitário nessa direção é
Isso significa que, movendo-se a partir de
,
aumenta mais rapidamente, com taxa
por unidade de deslocamento.])