Determine a taxa máxima de variação da função f no ponto dado e em qual direção ela ocorre.
a) f(x, y)=2 x \sqrt{y}, \quad P=(2,4) .

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=2x\sqrt{y} e o ponto P=(2,4).
O que é pedido:
  • Determinar a taxa máxima de variação de f no ponto P.
  • Determinar em qual direção essa taxa máxima ocorre.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de f(x,y).
  • O ponto onde a taxa deve ser calculada: P=(2,4).

Passo 2

Conceito importante (o que vamos usar): direção de maior variação está ligada ao gradiente. Vou explicar isso devagarinho.
  • A derivada direcional de f no ponto P na direção do vetor unitário \mathbf{u} (ou seja, \|\mathbf{u}\|=1) é dada por
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}.
Aqui:
  • \nabla f(P) é o gradiente de f no ponto P: um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de f em P.
  • \cdot é o produto escalar entre vetores.
  • Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz, para qualquer vetor unitário \mathbf{u} vale
\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}\le \|\nabla f(P)\|\,\|\mathbf{u}\| = \|\nabla f(P)\|,
porque \|\mathbf{u}\|=1. A igualdade ocorre exatamente quando \mathbf{u} é paralelo a \nabla f(P) (ou seja, aponta na mesma direção do gradiente).
Conclusão conceitual: a taxa máxima de variação de f em P é \|\nabla f(P)\|, e ela ocorre na direção do vetor unitário \dfrac{\nabla f(P)}{\|\nabla f(P)\|}.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y)=2x y^{1/2}.
  • Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2\sqrt{y}.
Explicação: tratando y como constante, f é linear em x com coeficiente 2\sqrt{y}.
  • Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2x\cdot\frac{1}{2}y^{-1/2}= \frac{x}{\sqrt{y}}.
Explicação: usei a regra da potência para y^{1/2}: \dfrac{d}{dy}y^{1/2}=\dfrac{1}{2}y^{-1/2}, e multipliquei por 2x.

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais no ponto P=(2,4).
  • Primeiro \sqrt{4}=2.
  • Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}(2,4)=2\sqrt{4}=2\cdot2=4.
  • E
\frac{\partial f}{\partial y}(2,4)=\frac{2}{\sqrt{4}}=\frac{2}{2}=1.
  • Logo o gradiente em P ) é \[\nabla f(2,4)=\begin{pmatrix}4\\[4pt]1\end{pmatrix}.\] Interpretação: o componente \(4 indica quanto f cresce por unidade de x no ponto, mantendo y fixo; o componente 1 indica quanto f cresce por unidade de y no ponto, mantendo x fixo.])

Passo 5

Calcular a norma do gradiente em (
P
), que é a taxa máxima de variação.
\|\nabla f(2,4)\|=\sqrt{4^{2}+1^{2}}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}.
Pela explicação do Passo 2, este valor \sqrt{17} é precisamente a maior derivada direcional possível em P ).

Passo 6

Determinar a direção (vetor unitário) na qual ocorre essa taxa máxima.
A direção é a do próprio gradiente; o vetor unitário nessa direção é
\mathbf{u}=\frac{\nabla f(2,4)}{\|\nabla f(2,4)\|}=\frac{1}{\sqrt{17}}\begin{pmatrix}4\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Isso significa que, movendo-se a partir de P ) na direção \(\mathbf{u}, f aumenta mais rapidamente, com taxa \sqrt{17} por unidade de deslocamento.])

Resposta

\sqrt{17}
\dfrac{1}{\sqrt{17}}\,(4,1)

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