Determine a derivada direcional da função
no ponto dado e na direção e sentido do vetor
.
a)
a)
Passo 1
O enunciado nos dá:
- A função
. - O ponto
. - O vetor de direção e sentido
.
O que é pedido: calcular a derivada direcional de
no ponto
na direção e sentido do vetor
. Em outras palavras, encontrar o número que representa a taxa de variação de
em
ao mover-se na direção de
.
Passo 2
Estratégia (explicação didática):
- A maneira mais prática (e padrão) de calcular uma derivada direcional é usar o gradiente de
. Se é o vetor gradiente em e é o vetor unitário na direção de , então a derivada direcional de em na direção de é o produto escalar
- O gradiente reúne as derivadas parciais:
, onde e são as derivadas parciais de em relação a e . - Vou calcular
e usando a regra da cadeia (porque é uma composição de outra função), avaliar em , normalizar para obter e fazer o produto escalar. - Depois farei uma verificação rápida usando a definição limite da derivada direcional para você ver que bate certinho (isso ajuda a entender por que o método do gradiente funciona).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais usando regra da cadeia.
Defina a função auxiliar , de modo que
.
Defina a função auxiliar
Primeiro
:
Derivadas parciais de
:
Agora usar regra da cadeia para
:
Observação didática rápida: a regra da cadeia diz que, para
com
, temos
e
. Aqui
.
Passo 4
Avaliar as derivadas parciais em
.
Em
temos
,
. Então
e
.
Substituindo:
Portanto o gradiente em
é
Passo 5
Normalizar o vetor
para obter o vetor unitário
na mesma direção e sentido.
Calcule o módulo de
:
Logo o vetor unitário é
Passo 6
Calcular a derivada direcional pelo produto escalar:
Fazendo o produto escalar:
Isso já nos dá a resposta buscada.
Passo 7
Verificação pela definição limite (opcional, para consolidar a compreensão):
Definição:
.
Aqui
e
.
Calcule o argumento interno de
:
Então
Para
usamos
(ou seja
):
Tomando limite
obtemos
, confirmando o resultado do gradiente.