Determine a derivada direcional da função f no ponto dado e na direção e sentido do vetor \vec{v}.
a) f(x, y)=\sin \left(x+x^{3} y\right), \quad P=(0,0), \quad \vec{v}=\vec{i}+\vec{j} .

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A função f(x,y)=\sin\left(x+x^{3}y\right).
  • O ponto P=(0,0).
  • O vetor de direção e sentido \vec{v}=\vec{i}+\vec{j}.
O que é pedido: calcular a derivada direcional de f no ponto P na direção e sentido do vetor \vec{v}. Em outras palavras, encontrar o número que representa a taxa de variação de f em P ao mover-se na direção de \vec{v}.

Passo 2

Estratégia (explicação didática):
  • A maneira mais prática (e padrão) de calcular uma derivada direcional é usar o gradiente de f. Se \nabla f(P) é o vetor gradiente em P e \mathbf{u} é o vetor unitário na direção de \vec{v}, então a derivada direcional de f em P na direção de \vec{v} é o produto escalar
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}.
  • O gradiente reúne as derivadas parciais: \nabla f=(f_x,f_y), onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y.
  • Vou calcular f_x e f_y usando a regra da cadeia (porque f é uma composição \sin de outra função), avaliar em P, normalizar \vec{v} para obter \mathbf{u} e fazer o produto escalar.
  • Depois farei uma verificação rápida usando a definição limite da derivada direcional para você ver que bate certinho (isso ajuda a entender por que o método do gradiente funciona).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais usando regra da cadeia.
Defina a função auxiliar g(x,y)=x+x^{3}y, de modo que f(x,y)=\sin(g(x,y)).
Primeiro g:
g(x,y)=x+x^{3}y.
Derivadas parciais de g:
\frac{\partial g}{\partial x}=1+3x^{2}y, \qquad \frac{\partial g}{\partial y}=x^{3}.
Agora usar regra da cadeia para f=\sin(g):
f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=\cos(g(x,y))\cdot \frac{\partial g}{\partial x}=\cos\!\big(x+x^{3}y\big)\big(1+3x^{2}y\big),
f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=\cos(g(x,y))\cdot \frac{\partial g}{\partial y}=\cos\!\big(x+x^{3}y\big)\,x^{3}.
Observação didática rápida: a regra da cadeia diz que, para f(x,y)=h(g(x,y)) com h(t)=\sin t, temos f_x=h'(g)\,g_x e f_y=h'(g)\,g_y. Aqui h'(t)=\cos t.

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais em P=(0,0).
Em P temos x=0, y=0. Então g(0,0)=0+0=0 e \cos(0)=1.
Substituindo:
f_x(0,0)=\cos(0)\big(1+3\cdot0^{2}\cdot0\big)=1\cdot 1=1,
f_y(0,0)=\cos(0)\cdot 0^{3}=1\cdot 0=0.
Portanto o gradiente em P é
\nabla f(0,0)=(1,0).

Passo 5

Normalizar o vetor \vec{v}=\vec{i}+\vec{j} para obter o vetor unitário \mathbf{u} na mesma direção e sentido.
Calcule o módulo de \vec{v}:
\|\vec{v}\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
Logo o vetor unitário é
\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{2}}\,\big(1,1\big)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).

Passo 6

Calcular a derivada direcional pelo produto escalar:
D_{\mathbf{u}}f(0,0)=\nabla f(0,0)\cdot\mathbf{u}=(1,0)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Fazendo o produto escalar:
D_{\mathbf{u}}f(0,0)=1\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}+0\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Isso já nos dá a resposta buscada.

Passo 7

Verificação pela definição limite (opcional, para consolidar a compreensão):
Definição: D_{\mathbf{u}}f(0,0)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f\big((0,0)+h\mathbf{u}\big)-f(0,0)}{h}.
Aqui f(0,0)=\sin(0)=0 e (0,0)+h\mathbf{u}=\left(\dfrac{h}{\sqrt{2}},\dfrac{h}{\sqrt{2}}\right).
Calcule o argumento interno de \sin:
x=\frac{h}{\sqrt{2}},\qquad y=\frac{h}{\sqrt{2}},
x+x^{3}y=\frac{h}{\sqrt{2}}+\left(\frac{h}{\sqrt{2}}\right)^{3}\!\left(\frac{h}{\sqrt{2}}\right) =\frac{h}{\sqrt{2}}+\frac{h^{4}}{4}.
Então
\frac{f\big((0,0)+h\mathbf{u}\big)-f(0,0)}{h} =\frac{\sin\!\left(\dfrac{h}{\sqrt{2}}+\dfrac{h^{4}}{4}\right)}{h}.
Para h\to 0 usamos \sin t\sim t (ou seja \lim_{t\to 0}\sin t / t =1):
\frac{\sin\!\left(\dfrac{h}{\sqrt{2}}+\dfrac{h^{4}}{4}\right)}{h} \sim\frac{\dfrac{h}{\sqrt{2}}+\dfrac{h^{4}}{4}}{h} =\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{h^{3}}{4}.
Tomando limite h\to 0 obtemos \dfrac{1}{\sqrt{2}}, confirmando o resultado do gradiente.

Resposta

\dfrac{1}{\sqrt{2}}

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