Determine a derivada direcional da função f no ponto dado e na direção e sentido do vetor \vec{v}.
b) f(x, y, z)=x^{3}+y z+2 x z^{2}, \quad P=(0,1,1), \quad \vec{v}=\vec{j}+\vec{k} .

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f no ponto P na direção e sentido do vetor \vec{v}. As informações dadas são:
  • Função: f(x,y,z)=x^{3}+y z+2 x z^{2}.
  • Ponto: P=(0,1,1).
  • Vetor de direção (com sentido): \vec{v}=\vec{j}+\vec{k}. (Em componentes: \vec{v}=(0,1,1).)
    A pergunta concreta: calcular a derivada direcional de f em P ao longo da direção e sentido de \vec{v}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática).
  • Definição (intuição): a derivada direcional de f em P na direção de um vetor mede a taxa de variação de f quando nos movemos a partir de P nessa direção. Para funções differentiáveis, a forma prática é usar o gradiente.
  • Gradiente: o vetor gradiente de f é \nabla f=(\partial f/\partial x,\\ \partial f/\partial y,\\ \partial f/\partial z). Cada componente é a derivada parcial de f em relação àquela variável, mantendo as outras fixas.
  • Direção: devemos usar um vetor unitário \vec{u} que tenha o mesmo sentido de \vec{v}. Para qualquer vetor \vec{v}\neq\vec{0}, o vetor unitário é \vec{u}=\dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}, onde \|\vec{v}\| é a norma (comprimento) de \vec{v}.
  • Fórmula da derivada direcional (quando f é diferenciável): a derivada direcional de f em P na direção do vetor unitário \vec{u} é o produto escalar
D_{\vec{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\vec{u}.
Explicando: o produto escalar combina as componentes do gradiente (que dizem as taxas parciais) com a orientação \vec{u} para dar a taxa efetiva na direção desejada.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f (explicando cada termo).
  • \partial f/\partial x: trate y,z como constantes e derive em relação a x.
    • Derivada de x^{3} é 3x^{2}.
    • y z é constante em x, derivada 0.
    • 2x z^{2} é linear em x com coeficiente 2z^{2}, derivada 2z^{2}.
      Portanto
    \frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}+2z^{2}.
  • \partial f/\partial y: trate x,z como constantes.
    • Derivada de x^{3} em relação a y é 0.
    • Derivada de y z em relação a y é z (pois z é constante).
    • Derivada de 2x z^{2} em relação a y é 0.
      Portanto
    \frac{\partial f}{\partial y}=z.
  • \partial f/\partial z: trate x,y como constantes.
    • Derivada de x^{3} em z é 0.
    • Derivada de y z em z é y.
    • Derivada de 2x z^{2} em z é 2x\cdot 2z=4xz.
      Portanto
    \frac{\partial f}{\partial z}=y+4xz.

Passo 4

Avaliar o gradiente em P=(0,1,1).
Substituindo x=0,\\ y=1,\\ z=1 nas fórmulas encontradas:
\frac{\partial f}{\partial x}(P)=3\cdot 0^{2}+2\cdot 1^{2}=0+2=2,
\frac{\partial f}{\partial y}(P)=z\big|_{P}=1,
\frac{\partial f}{\partial z}(P)=y+4x z\big|_{P}=1+4\cdot 0\cdot 1=1.
Logo o gradiente em P é
\nabla f(P)=(2,1,1).

Passo 5

Construir o vetor unitário na direção e sentido de \vec{v}=(0,1,1).
  • Norma de \vec{v}: \|\vec{v}\|=\sqrt{0^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
  • Vetor unitário correspondente: \vec{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).

Passo 6

Calcular a derivada direcional como produto escalar \nabla f(P)\cdot\vec{u}.
  • Produto escalar: \nabla f(P)\cdot\vec{u}=(2,1,1)\cdot\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right) =2\cdot 0 + 1\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} + 1\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} =\frac{2}{\sqrt{2}}.

Resposta

\sqrt{2}

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