Determine a derivada direcional da função f no ponto dado e na direção e sentido do vetor \vec{v}.
b) f(x, y, z)=x^{3}+y z+2 x z^{2}, \quad P=(0,1,1), \quad \vec{v}=\vec{j}+\vec{k} .
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional de f no ponto P na direção e sentido do vetor \vec{v}. As informações dadas são:
Função: f(x,y,z)=x^{3}+y z+2 x z^{2}.
Ponto: P=(0,1,1).
Vetor de direção (com sentido): \vec{v}=\vec{j}+\vec{k}. (Em componentes: \vec{v}=(0,1,1).)
A pergunta concreta: calcular a derivada direcional de f em P ao longo da direção e sentido de \vec{v}.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática).
Definição (intuição): a derivada direcional de f em P na direção de um vetor mede a taxa de variação de f quando nos movemos a partir de P nessa direção. Para funções differentiáveis, a forma prática é usar o gradiente.
Gradiente: o vetor gradiente de f é \nabla f=(\partial f/\partial x,\\ \partial f/\partial y,\\ \partial f/\partial z). Cada componente é a derivada parcial de f em relação àquela variável, mantendo as outras fixas.
Direção: devemos usar um vetor unitário \vec{u} que tenha o mesmo sentido de \vec{v}. Para qualquer vetor \vec{v}\neq\vec{0}, o vetor unitário é \vec{u}=\dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}, onde \|\vec{v}\| é a norma (comprimento) de \vec{v}.
Fórmula da derivada direcional (quando f é diferenciável): a derivada direcional de f em P na direção do vetor unitário \vec{u} é o produto escalar
D_{\vec{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\vec{u}.
Explicando: o produto escalar combina as componentes do gradiente (que dizem as taxas parciais) com a orientação \vec{u} para dar a taxa efetiva na direção desejada.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de f (explicando cada termo).
\partial f/\partial x: trate y,z como constantes e derive em relação a x.
Derivada de x^{3} é 3x^{2}.
y z é constante em x, derivada 0.
2x z^{2} é linear em x com coeficiente 2z^{2}, derivada 2z^{2}.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}+2z^{2}.
\partial f/\partial y: trate x,z como constantes.
Derivada de x^{3} em relação a y é 0.
Derivada de y z em relação a y é z (pois z é constante).
Derivada de 2x z^{2} em relação a y é 0.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=z.
\partial f/\partial z: trate x,y como constantes.
Derivada de x^{3} em z é 0.
Derivada de y z em z é y.
Derivada de 2x z^{2} em z é 2x\cdot 2z=4xz.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial z}=y+4xz.
Passo 4
Avaliar o gradiente em P=(0,1,1).
Substituindo x=0,\\ y=1,\\ z=1 nas fórmulas encontradas: