Determine a taxa de variação da função f(x, y)=\frac{2 x}{x^{2}+y^{2}} em P(1,-1) e na direção do vetor \vec{u}= (\sqrt{3}, 1).
Passo 1
Dado: a função \displaystyle f(x,y)=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}, o ponto P(1,-1) e o vetor \vec{u}=(\sqrt{3},1).\n
Pedido: determinar a taxa de variação de f em P na direção do vetor \vec{u}. Ou seja, calcular a derivada direcional de f em P na direção de \vec{u}.
Passo 2
O que significa “taxa de variação na direção de um vetor”? Vou explicar devagarinho. A taxa de variação de f no ponto P na direção de um vetor \vec{v} é a derivada direcional. A fórmula útil é:
onde \nabla f(P) é o gradiente de f avaliado em P (vetor com as derivadas parciais) e \hat{\vec{v}} é o vetor de direção normalizado (vetor unitário na direção de \vec{v}). Então precisamos de dois passos: (1) calcular \nabla f(x,y) e avaliá-lo em P; (2) transformar \vec{u} em vetor unitário \hat{\vec{u}} e fazer o produto escalar.
Passo 3
Vamos achar as derivadas parciais de f. Vou usar a regra do produto/quotiente de forma clara. Escrevo