Determine a taxa de variação da função f(x, y)=\frac{2 x}{x^{2}+y^{2}} em P(1,-1) e na direção do vetor \vec{u}= (\sqrt{3}, 1).

Passo 1

Dado: a função \displaystyle f(x,y)=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}, o ponto P(1,-1) e o vetor \vec{u}=(\sqrt{3},1).\n
Pedido: determinar a taxa de variação de f em P na direção do vetor \vec{u}. Ou seja, calcular a derivada direcional de f em P na direção de \vec{u}.

Passo 2

O que significa “taxa de variação na direção de um vetor”? Vou explicar devagarinho. A taxa de variação de f no ponto P na direção de um vetor \vec{v} é a derivada direcional. A fórmula útil é:
\text{derivada direcional} = \nabla f(P)\cdot \hat{\vec{v}},
onde \nabla f(P) é o gradiente de f avaliado em P (vetor com as derivadas parciais) e \hat{\vec{v}} é o vetor de direção normalizado (vetor unitário na direção de \vec{v}). Então precisamos de dois passos: (1) calcular \nabla f(x,y) e avaliá-lo em P; (2) transformar \vec{u} em vetor unitário \hat{\vec{u}} e fazer o produto escalar.

Passo 3

Vamos achar as derivadas parciais de f. Vou usar a regra do produto/quotiente de forma clara. Escrevo
f(x,y)=2x\,(x^{2}+y^{2})^{-1}.
Primeiro a derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x} =2\,(x^{2}+y^{2})^{-1}+2x\cdot(-1)(x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot 2x.
Agora simplifico termo a termo:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{2}{x^{2}+y^{2}}-\frac{4x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{2(x^{2}+y^{2})-4x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Posso também escrever
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{2\bigl(x^{2}+y^{2}-2x^{2}\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{2\bigl(y^{2}-x^{2}\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Agora a derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y} =2x\cdot(-1)(x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot 2y =-\frac{4xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 4

Avalio o gradiente em P(1,-1). Primeiro calcule x^{2}+y^{2} em P:
x^{2}+y^{2}\Big|_{P}=1^{2}+(-1)^{2}=1+1=2.
Logo (x^{2}+y^{2})^{2}\Big|_{P}=2^{2}=4. Agora as componentes:
\frac{\partial f}{\partial x}\Big|_{P} =\frac{2\bigl(y^{2}-x^{2}\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\Big|_{P} =\frac{2(1-1)}{4}=0.
\frac{\partial f}{\partial y}\Big|_{P} =-\frac{4xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\Big|_{P} =-\frac{4\cdot 1\cdot(-1)}{4}=+\;1.
Portanto o gradiente em P é
\nabla f(P)=\bigl(0,\,1\bigr).

Passo 5

Agora normalizamos o vetor de direção \vec{u}=(\sqrt{3},1). O comprimento (norma) de \vec{u} é
\|\vec{u}\|=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2.
O vetor unitário na direção de \vec{u} é
\hat{\vec{u}}=\frac{1}{\|\vec{u}\|}\vec{u}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\;\frac{1}{2}\right).

Passo 6

Finalmente fazemos o produto escalar entre \nabla f(P) e \hat{\vec{u}}:
D_{\hat{\vec{u}}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\hat{\vec{u}} =(0,1)\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right) =0\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
Interpretação rápida: em P a variação da função na direção dada cresce com taxa \tfrac{1}{2} por unidade de deslocamento ao longo daquela direção.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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