Forneça a derivada direcional de fno ponto dado e na direção indicada pelo ângulo
.
e
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional da função
no ponto
na direção indicada pelo ângulo
. As informações relevantes são:
- A função:
. - O ponto onde avaliaremos a derivada direcional:
. - A direção vem do ângulo
, isto é, a direção é o vetor unitário .
Passo 2
Definição e método que vamos usar (explicação didática): a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor unitário
é o produto escalar entre o gradiente de
em
e
. Em fórmulas:
Aqui
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
. Eu escolhi esse método porque é o mais direto: transforma o problema em calcular derivadas parciais (fácil com regras de potência e produto) e um produto escalar com um vetor unitário (fácil).
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
. Lembra das regras básicas: derivada de
é
(regra da potência) e, para produtos, usamos a regra do produto. Aplicando a isso em cada termo:
Para
, tratando
como constante ao derivar em relação a
:
No primeiro termo
é constante, então
.
No segundo termo é constante, então
.
Portanto:
No segundo termo
Portanto:
Passo 4
Agora a derivada parcial em relação a
. Tratamos
como constante:
No primeiro termo
é constante, então
.
No segundo termo é constante, então
.
Portanto:
No segundo termo
Portanto:
Passo 5
Avalie as derivadas parciais no ponto
. Substituímos
e
nas expressões obtidas:
Para
:
Para
:
Logo o gradiente em
é
Passo 6
Encontrar o vetor unitário na direção do ângulo
. O vetor unitário correspondente é
Para
conhecemos os valores trigonométricos padrão:
Portanto
Passo 7
Calcule a derivada direcional como produto escalar entre
e
:
O produto escalar em
é
. Aplicando:
Passo 8
Simplificando o resultado final: