Forneça a derivada direcional de fno ponto dado e na direção indicada pelo ângulo \theta.
f(x, y)=x^{3} y^{4}-x^{4} y^{3},(1,1) e \theta=60^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional da função f(x,y)=x^{3}y^{4}-x^{4}y^{3} no ponto (1,1) na direção indicada pelo ângulo \theta=60^\circ. As informações relevantes são:
  • A função: f(x,y)=x^{3}y^{4}-x^{4}y^{3}.
  • O ponto onde avaliaremos a derivada direcional: (1,1).
  • A direção vem do ângulo \theta=60^\circ, isto é, a direção é o vetor unitário (\cos\theta,\sin\theta).

Passo 2

Definição e método que vamos usar (explicação didática): a derivada direcional de f no ponto (x_0,y_0) na direção do vetor unitário u=(u_1,u_2) é o produto escalar entre o gradiente de f em (x_0,y_0) e u. Em fórmulas:
D_{u}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot u.
Aqui \nabla f=(f_x,f_y) onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y. Eu escolhi esse método porque é o mais direto: transforma o problema em calcular derivadas parciais (fácil com regras de potência e produto) e um produto escalar com um vetor unitário (fácil).

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f. Lembra das regras básicas: derivada de x^n é n x^{n-1} (regra da potência) e, para produtos, usamos a regra do produto. Aplicando a isso em cada termo:
Para f(x,y)=x^{3}y^{4}-x^{4}y^{3}, tratando y como constante ao derivar em relação a x:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\big(x^{3}y^{4}\big)-\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{4}y^{3}\big).
No primeiro termo y^{4} é constante, então \frac{\partial}{\partial x}(x^{3}y^{4})=3x^{2}y^{4}.
No segundo termo y^{3} é constante, então \frac{\partial}{\partial x}(x^{4}y^{3})=4x^{3}y^{3}.
Portanto:
f_x=3x^{2}y^{4}-4x^{3}y^{3}.

Passo 4

Agora a derivada parcial em relação a y. Tratamos x como constante:
f_y = \frac{\partial}{\partial y}\big(x^{3}y^{4}\big)-\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{4}y^{3}\big).
No primeiro termo x^{3} é constante, então \frac{\partial}{\partial y}(x^{3}y^{4})=4x^{3}y^{3}.
No segundo termo x^{4} é constante, então \frac{\partial}{\partial y}(x^{4}y^{3})=3x^{4}y^{2}.
Portanto:
f_y=4x^{3}y^{3}-3x^{4}y^{2}.

Passo 5

Avalie as derivadas parciais no ponto (1,1). Substituímos x=1 e y=1 nas expressões obtidas:
Para f_x:
f_x(1,1)=3\cdot 1^{2}\cdot 1^{4}-4\cdot 1^{3}\cdot 1^{3}=3-4=-1.
Para f_y:
f_y(1,1)=4\cdot 1^{3}\cdot 1^{3}-3\cdot 1^{4}\cdot 1^{2}=4-3=1.
Logo o gradiente em (1,1) é
\displaystyle \nabla f(1,1)=\big(f_x(1,1),\,f_y(1,1)\big)=(-1,\,1).

Passo 6

Encontrar o vetor unitário na direção do ângulo \theta=60^\circ. O vetor unitário correspondente é
u=(\cos\theta,\sin\theta).
Para \theta=60^\circ conhecemos os valores trigonométricos padrão:
\cos 60^\circ=\tfrac{1}{2},\qquad \sin 60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto
u=\Big(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big).

Passo 7

Calcule a derivada direcional como produto escalar entre \nabla f(1,1) e u:
D_{u}f(1,1)=\nabla f(1,1)\cdot u = (-1,1)\cdot\Big(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big).
O produto escalar em \mathbb{R}^2 é (a,b)\cdot(c,d)=ac+bd. Aplicando:
D_{u}f(1,1)=(-1)\cdot\tfrac{1}{2} + 1\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} = -\tfrac{1}{2} + \tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 8

Simplificando o resultado final:
D_{u}f(1,1)=\frac{\sqrt{3}-1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}

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