Forneça a derivada direcional de fno ponto dado e na direção indicada pelo ângulo \theta. f(x, y)=e^{x} \operatorname{sen}(x y),(0,1) e \theta=\frac{\pi}{4}
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional de f no ponto e na direção indicados. Dados fornecidos:
Função: f(x,y)=e^{x}\sin(xy).
Ponto onde avaliaremos a derivada direcional: (0,1).
Direção dada pelo ângulo: \theta=\frac{\pi}{4}.
A pergunta é: qual é a derivada direcional de f em (0,1) na direção que forma ângulo \theta=\frac{\pi}{4} com o eixo x?
Passo 2
Conceito: a derivada direcional de f no ponto (x_{0},y_{0}) numa direção dada por um vetor unitário \mathbf{u}=(u_{1},u_{2}) é, quando f é diferenciável,
onde \nabla f=(f_{x},f_{y}) é o vetor gradiente formado pelas derivadas parciais. Observação prática: antes de usar essa fórmula normalmente verificamos que f é diferenciável; aqui f é combinação de funções exponencial e seno, que são suaves, logo f é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}.
Também precisamos do vetor unitário na direção do ângulo \theta:
\mathbf{u}=(\cos\theta,\sin\theta).
Importante: é obrigatório usar um vetor com comprimento 1; por isso usamos \cos\theta e \sin\theta.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais f_{x} e f_{y}. Usei as regras:
Regra do produto: \frac{\partial}{\partial x}(g(x)h(x))=g'(x)h(x)+g(x)h'(x).
Regra da cadeia: \frac{d}{dx}\sin(u(x))=\cos(u(x))\cdot u'(x).
Aplique isso em f(x,y)=e^{x}\sin(xy). Primeiro a parcial em relação a x:
\begin{aligned} f_{x}(x,y) &=\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{x}\sin(xy)\big)\\[4pt] &= \underbrace{e^{x}}_{\text{derivada de }e^{x}}\cdot\sin(xy) + e^{x}\cdot\underbrace{\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy)}_{\text{regra da cadeia}}\\[4pt] &= e^{x}\sin(xy) + e^{x}\cos(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy). \end{aligned}
Como \frac{\partial}{\partial x}(xy)=y, concluímos