Forneça a derivada direcional de fno ponto dado e na direção indicada pelo ângulo \theta.
f(x, y)=e^{x} \operatorname{sen}(x y),(0,1) e \theta=\frac{\pi}{4}

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f no ponto e na direção indicados. Dados fornecidos:
  • Função: f(x,y)=e^{x}\sin(xy).
  • Ponto onde avaliaremos a derivada direcional: (0,1).
  • Direção dada pelo ângulo: \theta=\frac{\pi}{4}.
A pergunta é: qual é a derivada direcional de f em (0,1) na direção que forma ângulo \theta=\frac{\pi}{4} com o eixo x?

Passo 2

Conceito: a derivada direcional de f no ponto (x_{0},y_{0}) numa direção dada por um vetor unitário \mathbf{u}=(u_{1},u_{2}) é, quando f é diferenciável,
D_{\mathbf{u}}f(x_{0},y_{0})=\nabla f(x_{0},y_{0})\cdot\mathbf{u},
onde \nabla f=(f_{x},f_{y}) é o vetor gradiente formado pelas derivadas parciais. Observação prática: antes de usar essa fórmula normalmente verificamos que f é diferenciável; aqui f é combinação de funções exponencial e seno, que são suaves, logo f é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}.
Também precisamos do vetor unitário na direção do ângulo \theta:
\mathbf{u}=(\cos\theta,\sin\theta).
Importante: é obrigatório usar um vetor com comprimento 1; por isso usamos \cos\theta e \sin\theta.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais f_{x} e f_{y}. Usei as regras:
  • Regra do produto: \frac{\partial}{\partial x}(g(x)h(x))=g'(x)h(x)+g(x)h'(x).
  • Regra da cadeia: \frac{d}{dx}\sin(u(x))=\cos(u(x))\cdot u'(x).
Aplique isso em f(x,y)=e^{x}\sin(xy). Primeiro a parcial em relação a x:
\begin{aligned} f_{x}(x,y) &=\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{x}\sin(xy)\big)\\[4pt] &= \underbrace{e^{x}}_{\text{derivada de }e^{x}}\cdot\sin(xy) + e^{x}\cdot\underbrace{\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy)}_{\text{regra da cadeia}}\\[4pt] &= e^{x}\sin(xy) + e^{x}\cos(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy). \end{aligned}
Como \frac{\partial}{\partial x}(xy)=y, concluímos
\boxed{\,f_{x}(x,y)=e^{x}\big(\sin(xy)+y\cos(xy)\big)\,}.]

Passo 4

Agora a parcial em relação a y. Aqui e^{x} é tratado como constante (em relação a y) e aplicamos a regra da cadeia em \sin(xy):
\begin{aligned} f_{y}(x,y) &=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x}\sin(xy)\big)\\[4pt] &= e^{x}\cdot\cos(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy)\\[4pt] &= e^{x}\cos(xy)\cdot x. \end{aligned}
Assim,
\boxed{\,f_{y}(x,y)=x e^{x}\cos(xy)\,}.]

Passo 5

Avalie as parciais no ponto (0,1). Primeiro calculemos os valores das funções auxiliares no ponto:
xy\big|_{(0,1)}=0\cdot 1=0,\qquad e^{x}\big|_{x=0}=e^{0}=1,\qquad \sin(0)=0,\qquad \cos(0)=1.
Agora:
\begin{aligned} f_{x}(0,1)&=e^{0}\big(\sin(0)+1\cdot\cos(0)\big)=1\cdot(0+1\cdot 1)=1,\\[4pt] f_{y}(0,1)&=0\cdot e^{0}\cdot\cos(0)=0. \end{aligned}
Logo o gradiente no ponto é
\boxed{\,\nabla f(0,1)=(1,0)\,}.]

Passo 6

Construímos o vetor unitário na direção \theta=\frac{\pi}{4}:
\mathbf{u}=\big(\cos(\tfrac{\pi}{4}),\sin(\tfrac{\pi}{4})\big)=\Big(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\Big).

Passo 7

Agora aplicamos a fórmula da derivada direcional pelo produto escalar:
\begin{aligned} D_{\mathbf{u}}f(0,1)&=\nabla f(0,1)\cdot\mathbf{u}\\[4pt] &=(1,0)\cdot\Big(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\Big)\\[4pt] &=1\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+0\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}. \end{aligned}]

Resposta

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

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