Determine a que temperatura deve ser mantida uma placa de uma liga de ferro contendo 0,1 \% de carbono para atingir um teor de carbono igual a 1 \% a 1 mm da superfície em 1 hora, exposta a uma atmosfera que libera 3 \% de carbono. Considere \mathrm{D}_{0}=1,0 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} e \mathrm{Q}=136.000 \mathrm{~J} / \mathrm{mol}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido (peguei estes números do enunciado).
  • Teor inicial de carbono: C_{0}=0{,}1\%.
  • Teor do ambiente (concentração na superfície): C_{s}=3\%.
  • Teor desejado a 1 mm da superfície: C(x,t)=1\% para x=1\\ \text{mm}=1{,}0\times10^{-3}\\ \text{m}.
  • Tempo disponível: t=1\\ \text{h}=3600\\ \text{s}.
  • Constantes para difusão: D_{0}=1{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s} e Q=136.000\\ \mathrm{J}/\mathrm{mol}.
  • Constante dos gases: R=8{,}314\\ \mathrm{J}/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}) (valor padrão).
  • Pedido: determinar a temperatura T a que deve ser mantida a placa para que, após t=3600\\ \text{s}, o teor a x=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m} seja 1\%.

Passo 2

Modelo físico e equação usada (explicação didática).
Quando uma superfície é mantida a uma concentração constante C_{s} e o corpo inicialmente tem concentração uniforme C_{0}, o problema de difusão pode ser tratado como meio semi-infinito com condição de contorno de superfície constante. A solução clássica para esse caso (difusão unidimensional) é dada pela função erro (erf):
C(x,t)=C_{s}-(C_{s}-C_{0})\;\mathrm{erf}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{D t}}\right).
O que isso significa, em palavras simples:
  • C(x,t) é a concentração no ponto x após tempo t.
  • C_{s} é a concentração na superfície ( x=0) mantida constante.
  • C_{0} é a concentração inicial no interior.
  • D é o coeficiente de difusão (assumimos D efetivamente constante à temperatura dada).
  • A função \mathrm{erf}(z) (função erro) varia entre 0 (em z=0) e 1 (quando z\to\infty), o que garante que C(0,t)=C_{s} e C(\infty,t)=C_{0}.
Nosso objetivo intermediário é encontrar o valor de D que permite C(x,t)=1\% em x=1\\ \mathrm{mm} e t=3600\\ \mathrm{s}; depois usamos a lei de Arrhenius para relacionar D com T.

Passo 3

Isolar a variável adimensional que aparece na função erro. Reescrevo a solução para obter a função erro isolada:
C(x,t)=C_{s}-(C_{s}-C_{0})\;\mathrm{erf}(z), \qquad \text{onde } z=\frac{x}{2\sqrt{D t}}.
Isolando \mathrm{erf}(z):
\mathrm{erf}(z)=\frac{C_{s}-C(x,t)}{C_{s}-C_{0}}.
Agora substituo os números fornecidos (uso porcentagens diretamente porque todas as concentrações aparecem em razão entre si, a unidade cancela):
\frac{C_{s}-C(x,t)}{C_{s}-C_{0}} =\frac{3{,}0\% - 1{,}0\%}{3{,}0\% - 0{,}1\%} =\frac{2{,}0}{2{,}9} \approx 0{,}6896552.
Logo
\mathrm{erf}(z)\approx 0{,}6896552.

Passo 4

Determinar z a partir de \mathrm{erf}(z)=0{,}6896552.
A função \mathrm{erf} não tem uma inversa elementar, então determinamos z numericamente ou por interpolação em tabelas de \mathrm{erf}. Valores típicos de referência:
\mathrm{erf}(0{,}70)\approx 0{,}677801,\qquad \mathrm{erf}(0{,}75)\approx 0{,}711155.
Fazendo uma interpolação linear entre esses pontos para \mathrm{erf}(z)=0{,}6896552 obtém-se aproximadamente
z\approx 0{,}718.
(essa aproximação é suficiente para o propósito prático de estimar a temperatura; se desejar maior precisão, usa-se uma calculadora científica com \mathrm{erf}^{-1}.)

Passo 5

Agora calculo D a partir de z=\dfrac{x}{2\sqrt{D t}}. Reorganizando:
\sqrt{D t}=\frac{x}{2 z} \quad\Rightarrow\quad D=\frac{x^{2}}{4 z^{2} t}.
Substituindo x=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}, t=3600\\ \mathrm{s} e z=0{,}718:
z^{2}\approx(0{,}718)^{2}=0{,}515\quad(\text{aprox.}),
4 z^{2} t \approx 4\cdot 0{,}515\cdot 3600 \approx 4\cdot 0{,}515\cdot 3600 \approx 7420{,}8,
D \approx \frac{(1{,}0\times10^{-3})^{2}}{7420{,}8} = \frac{1{,}0\times10^{-6}}{7420{,}8} \approx 1{,}35\times10^{-10}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}.
(Arredondei para três algarismos significativos: D\approx 1{,}35\times10^{-10}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}.)

Passo 6

Relacionar D com T pela lei de Arrhenius para difusão e resolver para T. A lei é:
D=D_{0}\exp\!\left(-\frac{Q}{R T}\right).
Isolando T:
\ln\!\left(\frac{D}{D_{0}}\right)=-\frac{Q}{R T} \quad\Rightarrow\quad T=-\frac{Q}{R\;\ln\!\left(\dfrac{D}{D_{0}}\right)}.
Substituo D\approx 1{,}35\times10^{-10}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}, D_{0}=1{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}, Q=136.000\\ \mathrm{J}/\mathrm{mol} e R=8{,}314\\ \mathrm{J}/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}):
\frac{D}{D_{0}}=\frac{1{,}35\times10^{-10}}{1{,}0\times10^{-5}}=1{,}35\times10^{-5},
\ln\!\left(\frac{D}{D_{0}}\right)=\ln(1{,}35\times10^{-5})\approx -11{,}22.
Portanto
T\approx -\frac{136.000}{8{,}314\cdot(-11{,}22)} =\frac{136.000}{8{,}314\cdot 11{,}22} \approx 1{,}46\times10^{3}\\ \mathrm{K}.
Convertendo para graus Celsius:
T_{\!^\circ\mathrm{C}} \approx 1{,}46\times10^{3}-273{,}15 \approx 1{,}19\times10^{3}\\ ^\circ\mathrm{C}.
(Arredondando: T\approx 1{,}46\times10^{3}\\ \mathrm{K}\approx 1{,}19\times10^{3}\\ ^\circ\mathrm{C}.)

Passo 7

Interpretação curta e incentivo. O resultado indica que, para alcançar 1,% de carbono a 1 mm em apenas 1 hora com superfície a 3,% de carbono, é necessária uma temperatura bastante elevada (ordem de 10^{3}\\ \mathrm{K}), o que está de acordo com a física: difusão para penetrações de ordem milimétrica em tempos curtos exige coeficientes de difusão relativamente grandes, obtidos só em temperaturas altas. Se quiser, posso refazer os cálculos com precisão maior usando \mathrm{erf}^{-1} numa calculadora e apresentar mais casas decimais.

Resposta

T \approx 1{,}46\times10^{3}\\ \mathrm{K} \approx 1{,}19\times10^{3}\\ ^\circ\mathrm{C}

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