Determine a que temperatura deve ser mantida uma placa de uma liga de ferro contendo
de carbono para atingir um teor de carbono igual a
a 1 mm da superfície em 1 hora, exposta a uma atmosfera que libera
de carbono. Considere
e
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido (peguei estes números do enunciado).
- Teor inicial de carbono:
. - Teor do ambiente (concentração na superfície):
. - Teor desejado a 1 mm da superfície:
para . - Tempo disponível:
. - Constantes para difusão:
e . - Constante dos gases:
(valor padrão). - Pedido: determinar a temperatura
a que deve ser mantida a placa para que, após , o teor a seja .
Passo 2
Modelo físico e equação usada (explicação didática).
Quando uma superfície é mantida a uma concentração constante e o corpo inicialmente tem concentração uniforme
, o problema de difusão pode ser tratado como meio semi-infinito com condição de contorno de superfície constante. A solução clássica para esse caso (difusão unidimensional) é dada pela função erro (erf):
Quando uma superfície é mantida a uma concentração constante
O que isso significa, em palavras simples:
-
é a concentração no ponto após tempo . -
é a concentração na superfície ( ) mantida constante. -
é a concentração inicial no interior. -
é o coeficiente de difusão (assumimos efetivamente constante à temperatura dada). - A função
(função erro) varia entre 0 (em ) e 1 (quando ), o que garante que e .
Nosso objetivo intermediário é encontrar o valor de
que permite
em
e
; depois usamos a lei de Arrhenius para relacionar
com
.
Passo 3
Isolar a variável adimensional que aparece na função erro. Reescrevo a solução para obter a função erro isolada:
Isolando
:
Agora substituo os números fornecidos (uso porcentagens diretamente porque todas as concentrações aparecem em razão entre si, a unidade cancela):
Logo
Passo 4
Determinar
a partir de
.
A função não tem uma inversa elementar, então determinamos
numericamente ou por interpolação em tabelas de
. Valores típicos de referência:
A função
Fazendo uma interpolação linear entre esses pontos para
obtém-se aproximadamente
(essa aproximação é suficiente para o propósito prático de estimar a temperatura; se desejar maior precisão, usa-se uma calculadora científica com
.)
Passo 5
Agora calculo
a partir de
. Reorganizando:
Substituindo
,
e
:
(Arredondei para três algarismos significativos:
.)
Passo 6
Relacionar
com
pela lei de Arrhenius para difusão e resolver para
. A lei é:
Isolando
:
Substituo
,
,
e
:
Portanto
Convertendo para graus Celsius:
(Arredondando:
.)
Passo 7
Interpretação curta e incentivo. O resultado indica que, para alcançar 1,% de carbono a 1 mm em apenas 1 hora com superfície a 3,% de carbono, é necessária uma temperatura bastante elevada (ordem de
), o que está de acordo com a física: difusão para penetrações de ordem milimétrica em tempos curtos exige coeficientes de difusão relativamente grandes, obtidos só em temperaturas altas. Se quiser, posso refazer os cálculos com precisão maior usando
numa calculadora e apresentar mais casas decimais.