6: Determine a temperatura de regime permanente ( u(r, \theta) ) em uma esfera de raio c , em que u(c, \theta)= f(\theta).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pede: determinar a temperatura de regime permanente u(r,\theta) dentro de uma esfera de raio c, sujeita à condição de contorno na superfície
u(c,\theta)=f(\theta).
  • Informações dadas: a condição de contorno f(\theta) depende apenas do ângulo polar \theta (não depende do ângulo azimutal \varphi), e a esfera tem raio c.
  • Objetivo final: escrever u(r,\theta) para 0\le r\le c que satisfaz a equação de Laplace (regime permanente, sem fontes) e a condição de contorno na superfície.

Passo 2

Escrever a equação que u deve satisfazer e simplificar usando a simetria.
  • Em regime permanente e sem fontes, a temperatura satisfaz a equação de Laplace:
\nabla^{2}u=0.
  • Em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) a forma do laplaciano é
\nabla^{2}u=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^{2}\frac{\partial u}{\partial r}\right) +\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\sin\theta\frac{\partial u}{\partial\theta}\right) +\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}u}{\partial\varphi^{2}}.
  • Como a condição de contorno depende só de \theta, vamos procurar soluções independentes de \varphi. Assim o último termo some e a equação reduz a
\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^{2}\frac{\partial u}{\partial r}\right) +\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\sin\theta\frac{\partial u}{\partial\theta}\right)=0.

Passo 3

Aplicar separação de variáveis.
  • Supomos solução do tipo produto
u(r,\theta)=R(r)\,\Theta(\theta).
  • Substituindo na equação reduzida e multiplicando por r^{2}/(R\Theta) obtemos
\frac{r^{2}}{R}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dR}{dr}\right)\frac{1}{r^{2}}+\frac{1}{\Theta\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\!\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)=0,
ou reorganizando
\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dR}{dr}\right) +\frac{1}{\Theta}\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\!\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)=0.
  • Como o primeiro termo depende só de r e o segundo só de \theta, cada um deve ser igual a uma constante de separação \lambda com sinais opostos. Tomamos
\frac{1}{\Theta}\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\!\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)=-\lambda, \qquad \frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dR}{dr}\right)=\lambda \frac{R}{r^{2}}.

Passo 4

Resolver a equação angular e identificar os autovalores. (introdução às polinômios de Legendre)
  • A equação angular fica
\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\!\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)+\lambda \Theta=0.
  • Fazendo a mudança de variável x=\cos\theta (portanto x\in[-1,1]) e usando d/d\theta=-(1-x^{2})^{1/2}d/dx chega-se à forma clássica da equação de Legendre:
\frac{d}{dx}\!\left((1-x^{2})\frac{d\Theta}{dx}\right)+\lambda \Theta=0.
  • Esta equação admite soluções regulares em [-1,1] somente para \lambda=n(n+1) com n=0,1,2,\dots. As funções angulares regulares correspondentes são os polinômios de Legendre P_{n}(x) com x=\cos\theta. Assim as soluções angulares regulares são
\Theta_{n}(\theta)=P_{n}(\cos\theta).
  • Comentário didático: os P_{n} formam uma base ortogonal no intervalo [-1,1] com peso 1, ou seja, para m\ne n
\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{m}(x)\,dx=0,
e a norma é
\int_{-1}^{1}P_{n}(x)^{2}\,dx=\frac{2}{2n+1}.
Em termos de \theta a ortogonalidade é
\int_{0}^{\pi}P_{n}(\cos\theta)P_{m}(\cos\theta)\sin\theta\,d\theta=\frac{2}{2n+1}\delta_{nm}.

Passo 5

Resolver a equação radial.
  • Com \lambda=n(n+1) a equação radial fica
\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dR}{dr}\right)-n(n+1)R=0.
  • Esta equação é um ODE de segunda ordem cujo espaço de soluções é gerado por r^{n} e r^{-(n+1)}. Ou seja,
R_{n}(r)=A_{n}r^{n}+B_{n}r^{-(n+1)}.
  • Interpretação física/condição de regularidade no interior: estamos buscando a solução dentro da esfera, incluindo o centro r=0. Para que u(r,\theta) seja finita em r=0 devemos eliminar os termos singulares r^{-(n+1)}. Portanto para o interior B_{n}=0 para todo n.

Passo 6

Construir a solução geral regular dentro da esfera.
  • Combinando modos angulares e radiais regulares obtemos a expansão geral
u(r,\theta)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\,r^{n}P_{n}(\cos\theta),
onde os a_{n} são constantes a determinar pela condição de contorno na superfície r=c.

Passo 7

Impor a condição de contorno e usar ortogonalidade para achar os coeficientes.
  • Na superfície r=c devemos ter
u(c,\theta)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\,c^{n}P_{n}(\cos\theta)=f(\theta).
  • Isto significa que f(\theta) deve ser expandível na série de Legendre
f(\theta)=\sum_{n=0}^{\infty} b_{n}P_{n}(\cos\theta),
com b_{n}=a_{n}c^{n}. Para obter b_{n} usamos a ortogonalidade dos P_{n}. Multiplicamos ambos os lados por P_{m}(\cos\theta)\sin\theta e integramos de 0 a \pi:
\int_{0}^{\pi}f(\theta)P_{m}(\cos\theta)\sin\theta\,d\theta =\sum_{n=0}^{\infty} b_{n}\int_{0}^{\pi}P_{n}(\cos\theta)P_{m}(\cos\theta)\sin\theta\,d\theta.
  • Usando a ortogonalidade
\int_{0}^{\pi}P_{n}(\cos\theta)P_{m}(\cos\theta)\sin\theta\,d\theta=\frac{2}{2n+1}\delta_{nm},
obtém-se
\int_{0}^{\pi}f(\theta)P_{m}(\cos\theta)\sin\theta\,d\theta = b_{m}\frac{2}{2m+1}.
  • Portanto
b_{n}=\frac{2n+1}{2}\int_{0}^{\pi}f(\theta)P_{n}(\cos\theta)\sin\theta\,d\theta.
  • Voltando a relação a_{n}=b_{n}/c^{n}, obtemos
a_{n}=\frac{1}{c^{n}}\frac{2n+1}{2}\int_{0}^{\pi}f(\theta)P_{n}(\cos\theta)\sin\theta\,d\theta.

Passo 8

Escrever a solução final e comentar uso prático.
  • Substituindo a_{n} na série temos a solução dentro da esfera:
u(r,\theta)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{r}{c}\right)^{n}\left(\frac{2n+1}{2}\int_{0}^{\pi}f(\varphi)P_{n}(\cos\varphi)\sin\varphi\,d\varphi\right)P_{n}(\cos\theta).
(Aqui troquei o nome do ângulo de integração para \varphi para não confundir com \theta.)
  • Observações práticas: para calcular explicitamente u você precisa computar as projeções de f nos polinômios de Legendre P_{n}. Se f for simples (por exemplo um polinômio em \cos\theta ou um cosseno simples), apenas alguns termos da soma não nulos aparecem. A série converge uniformemente para funções razoáveis f (por exemplo contínuas).

Resposta

u(r,\theta)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{r}{c}\right)^{n}\left(\frac{2n+1}{2}\int_{0}^{\pi}f(\varphi)P_{n}(\cos\varphi)\sin\varphi\,d\varphi\right)P_{n}(\cos\theta).

Exercícios relacionados