6: Determine a temperatura de regime permanente (
) em uma esfera de raio c , em que
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
- Pede: determinar a temperatura de regime permanente
dentro de uma esfera de raio , sujeita à condição de contorno na superfície
- Informações dadas: a condição de contorno
depende apenas do ângulo polar (não depende do ângulo azimutal ), e a esfera tem raio . - Objetivo final: escrever
para que satisfaz a equação de Laplace (regime permanente, sem fontes) e a condição de contorno na superfície.
Passo 2
Escrever a equação que
deve satisfazer e simplificar usando a simetria.
- Em regime permanente e sem fontes, a temperatura satisfaz a equação de Laplace:
- Em coordenadas esféricas
a forma do laplaciano é
- Como a condição de contorno depende só de
, vamos procurar soluções independentes de . Assim o último termo some e a equação reduz a
Passo 3
Aplicar separação de variáveis.
- Supomos solução do tipo produto
- Substituindo na equação reduzida e multiplicando por
obtemos
ou reorganizando
- Como o primeiro termo depende só de
e o segundo só de , cada um deve ser igual a uma constante de separação com sinais opostos. Tomamos
Passo 4
Resolver a equação angular e identificar os autovalores. (introdução às polinômios de Legendre)
- A equação angular fica
- Fazendo a mudança de variável
(portanto ) e usando chega-se à forma clássica da equação de Legendre:
- Esta equação admite soluções regulares em
somente para com . As funções angulares regulares correspondentes são os polinômios de Legendre com . Assim as soluções angulares regulares são
- Comentário didático: os
formam uma base ortogonal no intervalo com peso 1, ou seja, para
e a norma é
Em termos de
a ortogonalidade é
Passo 5
Resolver a equação radial.
- Com
a equação radial fica
- Esta equação é um ODE de segunda ordem cujo espaço de soluções é gerado por
e . Ou seja,
- Interpretação física/condição de regularidade no interior: estamos buscando a solução dentro da esfera, incluindo o centro
. Para que seja finita em devemos eliminar os termos singulares . Portanto para o interior para todo .
Passo 6
Construir a solução geral regular dentro da esfera.
- Combinando modos angulares e radiais regulares obtemos a expansão geral
onde os
são constantes a determinar pela condição de contorno na superfície
.
Passo 7
Impor a condição de contorno e usar ortogonalidade para achar os coeficientes.
- Na superfície
devemos ter
- Isto significa que
deve ser expandível na série de Legendre
com
. Para obter
usamos a ortogonalidade dos
. Multiplicamos ambos os lados por
e integramos de
a
:
- Usando a ortogonalidade
obtém-se
- Portanto
- Voltando a relação
, obtemos
Passo 8
Escrever a solução final e comentar uso prático.
- Substituindo
na série temos a solução dentro da esfera:
(Aqui troquei o nome do ângulo de integração para
para não confundir com
.)
- Observações práticas: para calcular explicitamente
você precisa computar as projeções de nos polinômios de Legendre . Se for simples (por exemplo um polinômio em ou um cosseno simples), apenas alguns termos da soma não nulos aparecem. A série converge uniformemente para funções razoáveis (por exemplo contínuas).