Use a Transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial indicado:
\frac{d y}{d t}-y=1, \quad y(0)=0 .

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
\frac{dy}{dt}-y=1,\qquad y(0)=0.
O que se pede: encontrar a função y(t) que satisfaz essa equação e a condição inicial. As informações relevantes são a forma da equação (derivada de y menos y igual a 1) e o valor inicial y(0)=0.

Passo 2

Vamos usar a Transformada de Laplace. Primeiro, a definição e propriedades úteis (vou explicar com calma): a Transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa (na prática, tratamos s como um parâmetro real maior que certo valor para a integral convergir). Duas propriedades que usaremos:
  1. linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\};
  2. transformada da derivada: se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, então
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0).
Essa última fórmula vem de integrar por partes a definição da transformada de y'(t); o termo y(0) aparece porque a transformada envolve um limite no tempo inicial. Não precisa decorar sem entender: ela é obtida assim:
\mathcal{L}\{y'(t)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}y'(t)\,dt = \Big[e^{-st}y(t)\Big]_{0}^{\infty}+s\int_{0}^{\infty}e^{-st}y(t)\,dt = -y(0)+sY(s),
assumindo que e^{-st}y(t)\to0 quando t\to\infty (condição usual).

Passo 3

Agora aplico a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial:
\mathcal{L}\{y'(t)\}-\mathcal{L}\{y(t)\}=\mathcal{L}\{1\}.
Usando a fórmula da derivada e definindo Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, temos
\big(sY(s)-y(0)\big)-Y(s)=\mathcal{L}\{1\}.
A transformada de 1 (constante) é \mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}. Como a condição inicial é y(0)=0, isso simplifica bastante:
(sY(s)-0)-Y(s)=\frac{1}{s}.

Passo 4

Fatorando Y(s) no lado esquerdo:
Y(s)\big(s-1\big)=\frac{1}{s}.
Isolando Y(s) obtemos
Y(s)=\frac{1}{s(s-1)}.
Aqui viramos o problema de resolver a ODE para resolver uma álgebra simples em s.

Passo 5

Para voltar ao domínio do tempo precisamos da transformada inversa. Primeiro fazemos uma decomposição em frações parciais de Y(s):
procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{s(s-1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-1}.
Multiplicando por s(s-1)
1=A(s-1)+Bs.
Colocando os termos em evidência: 1=(A+B)s - A. Comparando coeficientes obtemos o sistema
A+B=0,\qquad -A=1.
Daí A=-1 e B=1. Assim
Y(s)=-\frac{1}{s}+\frac{1}{s-1}.

Passo 6

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo. Lembrando transformadas padrões:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\}=1,\qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at}.
Aplicando em Y(s) obtemos
y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}=-\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\}+\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-1}\right\} =-1+e^{t}.
Ou seja,
y(t)=e^{t}-1.

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom checar na prova): calcule y'(t)=e^{t}. Então
y'(t)-y(t)=e^{t}-(e^{t}-1)=1,
e y(0)=e^{0}-1=1-1=0. Tudo confere com o enunciado.

Resposta

y(t)=e^{t}-1

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