Use a Transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial indicado:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz essa equação e a condição inicial. As informações relevantes são a forma da equação (derivada de
menos
igual a
) e o valor inicial
.
Passo 2
Vamos usar a Transformada de Laplace. Primeiro, a definição e propriedades úteis (vou explicar com calma): a Transformada de Laplace de uma função
é
onde
é a variável complexa (na prática, tratamos
como um parâmetro real maior que certo valor para a integral convergir). Duas propriedades que usaremos:
- linearidade:
; - transformada da derivada: se
, então
Essa última fórmula vem de integrar por partes a definição da transformada de
; o termo
aparece porque a transformada envolve um limite no tempo inicial. Não precisa decorar sem entender: ela é obtida assim:
assumindo que
quando
(condição usual).
Passo 3
Agora aplico a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial:
Usando a fórmula da derivada e definindo
, temos
A transformada de
(constante) é
. Como a condição inicial é
, isso simplifica bastante:
Passo 4
Fatorando
no lado esquerdo:
Isolando
obtemos
Aqui viramos o problema de resolver a ODE para resolver uma álgebra simples em
.
Passo 5
Para voltar ao domínio do tempo precisamos da transformada inversa. Primeiro fazemos uma decomposição em frações parciais de
:
procuramos constantes e
tais que
procuramos constantes
Multiplicando por
dá
Colocando os termos em evidência:
. Comparando coeficientes obtemos o sistema
Daí
e
. Assim
Passo 6
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo. Lembrando transformadas padrões:
Aplicando em
obtemos
Ou seja,
Passo 7
Verificação rápida (sempre bom checar na prova): calcule
. Então
e
. Tudo confere com o enunciado.