Escreva os primeiros 4 termos não nulos na expensão de Fourier-Legendre da função indicada:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os primeiros quatro termos não nulos da expansão de Fourier-Legendre da função
Informações relevantes que temos:
- •A expansão de uma função
em polinômios de Legendre é da forma . - •Os coeficientes
são dados por uma integral em . - •A função é nula em
, portanto integraremos efetivamente em .
Passo 2
Fórmula dos coeficientes: vou deduzir rapidamente e de modo prático a expressão que usaremos.
onde
é
se
e
caso contrário. Se escrevermos
e multiplicarmos ambos os lados por
e integrarmos de
a
, obtemos
Logo, isolando
,
Esta é a fórmula que vamos usar. Aqui
indica integração em relação a
,
é o
-ésimo polinômio de Legendre e
é o coeficiente da expansão.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso: como
para
e
para
, a integral em
reduz-se a integral em
:
Portanto nosso trabalho é calcular
para os primeiros
e encontrar os primeiros quatro
não nulos.
Passo 4
Vou usar as formas explícitas dos primeiros polinômios de Legendre (essas formas são padrão e fáceis de memorizar):
Explico rapidinho: cada
é um polinômio de grau
com norma específica; para cálculos manuais até
ou
essas expressões bastam.
Passo 5
Cálculo de
.
Calcule a integral:
Portanto
Passo 6
Cálculo de
.
Logo
Passo 7
Cálculo de
.
Factorizando:
Calcule as integrais:
Substituindo:
Passo 8
Cálculo de
(para checar se é nulo).
Substituindo:
Portanto
.
Passo 9
Cálculo de
.
Calcule as integrais:
Substituindo:
Calcule passo a passo:
,
,
. Soma
então total
.
Portanto
Passo 10
Checagem de
(apenas para ver padrão de zeros):
As integrais são
,
,
. Substituindo:
logo
. Isso confirma que alguns coeficientes ímpares além de
são nulos; mas já temos quatro coeficientes não nulos:
.
Passo 11
Montando os quatro primeiros termos não nulos da expansão. Os coeficientes encontrados são:
Então os quatro primeiros termos não nulos da expansão de Fourier-Legendre são
Se preferir escrever em termos de potências de
, substituindo
obtemos a forma truncada