Escreva os primeiros 4 termos não nulos na expensão de Fourier-Legendre da função indicada:
f(x)= \begin{cases}0, & -1<x<0 \\\ x, & 0<x<1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os primeiros quatro termos não nulos da expansão de Fourier-Legendre da função
f(x)= \begin{cases}0, & -1<x<0,\\[4pt] x, & 0<x<1.\end{cases}
Informações relevantes que temos:
  • A expansão de uma função f em polinômios de Legendre é da forma \displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n P_n(x).
  • Os coeficientes a_n são dados por uma integral em [-1,1].
  • A função é nula em (-1,0), portanto integraremos efetivamente em (0,1).

Passo 2

Fórmula dos coeficientes: vou deduzir rapidamente e de modo prático a expressão que usaremos.
\text{Os polinômios de Legendre satisfazem a ortogonalidade}ô
\int_{-1}^{1} P_n(x)P_m(x)\,dx=\frac{2}{2n+1}\,\delta_{nm},
onde \delta_{nm} é 1 se n=m e 0 caso contrário. Se escrevermos
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n P_n(x),
e multiplicarmos ambos os lados por P_m(x) e integrarmos de -1 a 1, obtemos
\int_{-1}^{1} f(x)P_m(x)\,dx = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \int_{-1}^{1} P_n(x)P_m(x)\,dx = a_m \frac{2}{2m+1}.
Logo, isolando a_m,
a_m=\frac{2m+1}{2}\int_{-1}^{1} f(x)P_m(x)\,dx.
Esta é a fórmula que vamos usar. Aqui \,dx indica integração em relação a x, P_m é o m-ésimo polinômio de Legendre e a_m é o coeficiente da expansão.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: como f(x)=0 para -1<x<0 e f(x)=x para 0<x<1, a integral em [-1,1] reduz-se a integral em [0,1]:
a_n=\frac{2n+1}{2}\int_{-1}^{1} f(x)P_n(x)\,dx = \frac{2n+1}{2}\int_{0}^{1} x\,P_n(x)\,dx.
Portanto nosso trabalho é calcular \displaystyle \int_{0}^{1} x\,P_n(x)\,dx para os primeiros n e encontrar os primeiros quatro a_n não nulos.

Passo 4

Vou usar as formas explícitas dos primeiros polinômios de Legendre (essas formas são padrão e fáceis de memorizar):
P_0(x)=1,
P_1(x)=x,
P_2(x)=\tfrac{1}{2}\bigl(3x^2-1\bigr),
P_3(x)=\tfrac{1}{2}\bigl(5x^3-3x\bigr),
P_4(x)=\tfrac{1}{8}\bigl(35x^4-30x^2+3\bigr),
P_5(x)=\tfrac{1}{8}\bigl(63x^5-70x^3+15x\bigr).
Explico rapidinho: cada P_n é um polinômio de grau n com norma específica; para cálculos manuais até n=4 ou 5 essas expressões bastam.

Passo 5

Cálculo de a_0.
a_0=\frac{2\cdot 0+1}{2}\int_{0}^{1} x\,P_0(x)\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} x\cdot 1\,dx.
Calcule a integral:
\int_{0}^{1} x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}.
Portanto
a_0=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.

Passo 6

Cálculo de a_1.
a_1=\frac{2\cdot 1+1}{2}\int_{0}^{1} x\,P_1(x)\,dx = \frac{3}{2}\int_{0}^{1} x\cdot x\,dx = \frac{3}{2}\int_{0}^{1} x^2\,dx.
\int_{0}^{1} x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{3}.
Logo
a_1=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{2}.

Passo 7

Cálculo de a_2.
a_2=\frac{2\cdot 2+1}{2}\int_{0}^{1} x\,P_2(x)\,dx = \frac{5}{2}\int_{0}^{1} x\cdot \tfrac{1}{2}(3x^2-1)\,dx.
Factorizando:
a_2=\frac{5}{4}\int_{0}^{1} (3x^3-x)\,dx = \frac{5}{4}\Bigl(3\int_{0}^{1}x^3\,dx - \int_{0}^{1}x\,dx\Bigr).
Calcule as integrais:
\int_{0}^{1} x^3\,dx=\frac{1}{4},\qquad \int_{0}^{1} x\,dx=\frac{1}{2}.
Substituindo:
a_2=\frac{5}{4}\Bigl(3\cdot\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\Bigr)=\frac{5}{4}\Bigl(\frac{3}{4}-\frac{2}{4}\Bigr)=\frac{5}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{5}{16}.

Passo 8

Cálculo de a_3 (para checar se é nulo).
a_3=\frac{2\cdot 3+1}{2}\int_{0}^{1} x\,P_3(x)\,dx = \frac{7}{2}\int_{0}^{1} x\cdot \tfrac{1}{2}(5x^3-3x)\,dx.
a_3=\frac{7}{4}\int_{0}^{1} (5x^4-3x^2)\,dx = \frac{7}{4}\Bigl(5\int_{0}^{1}x^4\,dx - 3\int_{0}^{1}x^2\,dx\Bigr).
\int_{0}^{1} x^4\,dx=\frac{1}{5},\qquad \int_{0}^{1} x^2\,dx=\frac{1}{3}.
Substituindo:
a_3=\frac{7}{4}\Bigl(5\cdot\frac{1}{5} - 3\cdot\frac{1}{3}\Bigr)=\frac{7}{4}\bigl(1-1\bigr)=0.
Portanto a_3=0.

Passo 9

Cálculo de a_4.
a_4=\frac{2\cdot 4+1}{2}\int_{0}^{1} x\,P_4(x)\,dx = \frac{9}{2}\int_{0}^{1} x\cdot \tfrac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)\,dx.
a_4=\frac{9}{16}\int_{0}^{1} (35x^5-30x^3+3x)\,dx.
Calcule as integrais:
\int_{0}^{1} x^5\,dx=\frac{1}{6},\qquad \int_{0}^{1} x^3\,dx=\frac{1}{4},\qquad \int_{0}^{1} x\,dx=\frac{1}{2}.
Substituindo:
\int_{0}^{1} (35x^5-30x^3+3x)\,dx = 35\cdot\frac{1}{6} -30\cdot\frac{1}{4} + 3\cdot\frac{1}{2}.
Calcule passo a passo: 35/6 = 70/12, -30/4=-90/12, 3/2=18/12. Soma 70-90+18 = -2 então total -2/12=-1/6.
\int_{0}^{1} (35x^5-30x^3+3x)\,dx = -\frac{1}{6}.
Portanto
a_4=\frac{9}{16}\cdot\left(-\frac{1}{6}\right) = -\frac{9}{96} = -\frac{3}{32}.

Passo 10

Checagem de a_5 (apenas para ver padrão de zeros):
a_5=\frac{11}{2}\int_{0}^{1} x\,P_5(x)\,dx = \frac{11}{2}\int_{0}^{1} x\cdot \tfrac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)\,dx.
a_5=\frac{11}{16}\int_{0}^{1} (63x^6-70x^4+15x^2)\,dx.
As integrais são \int_{0}^{1}x^6dx=\tfrac{1}{7}, \int_{0}^{1}x^4dx=\tfrac{1}{5}, \int_{0}^{1}x^2dx=\tfrac{1}{3}. Substituindo:
63\cdot\frac{1}{7}-70\cdot\frac{1}{5}+15\cdot\frac{1}{3}=9-14+5=0,
logo a_5=0. Isso confirma que alguns coeficientes ímpares além de n=1 são nulos; mas já temos quatro coeficientes não nulos: a_0,a_1,a_2,a_4.

Passo 11

Montando os quatro primeiros termos não nulos da expansão. Os coeficientes encontrados são:
a_0=\frac{1}{4},\qquad a_1=\frac{1}{2},\qquad a_2=\frac{5}{16},\qquad a_4=-\frac{3}{32}.
Então os quatro primeiros termos não nulos da expansão de Fourier-Legendre são
\frac{1}{4}P_0(x)+\frac{1}{2}P_1(x)+\frac{5}{16}P_2(x)-\frac{3}{32}P_4(x).
Se preferir escrever em termos de potências de x, substituindo P_0,P_1,P_2,P_4 obtemos a forma truncada
\frac{1}{4}+\frac{x}{2}+\frac{5}{32}(3x^2-1)-\frac{3}{256}(35x^4-30x^2+3).

Resposta

\frac{1}{4}P_0(x)+\frac{1}{2}P_1(x)+\frac{5}{16}P_2(x)-\frac{3}{32}P_4(x)
\text{ou, equivalentemente, } \frac{1}{4}+\frac{x}{2}+\frac{5}{32}(3x^2-1)-\frac{3}{256}(35x^4-30x^2+3)

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