Determine a tensão de cisalhamento média que o eixo circular cria na placa metálica através das seções A C e B D. Além disso, qual é a tensão de contato desenvolvida sob a superfície da placa?

Passo 1

O enunciado mostra um eixo cilíndrico de diâmetro 50\,\text{mm} que apoia sobre uma placa metálica de espessura 10\,\text{mm}. A carga total é F=40\,\text{kN} e, pelo esquema, a placa é apoiada em dois suportes C e D, distantes 60\,\text{mm} entre si e simétricos em relação ao eixo do cilindro. Precisamos
  1. Encontrar a tensão de cisalhamento média nas seções verticais AC e BD (elas estão a 30\,\text{mm} de cada lado do centro, daí cada apoio absorve metade da carga).
  2. Calcular a tensão de contato média sob a superfície de contato do cilindro com a placa.
Matematicamente usaremos:
– Reações simétricas R_C=R_D=F/2.
– Tensão de cisalhamento média \tau_{\rm m} = V/A_{\rm cisalh}.
– Tensão de contato média p_{\rm m}=F/A_{\rm contato}.

Passo 2

Como o carregamento é central e os apoios C e D ficam a 30\,\text{mm} à esquerda e à direita do centro, cada apoio reage com
R_C=R_D=\frac{F}{2}=\frac{40\,000\;\text{N}}{2}=20\,000\;\text{N}.

Passo 3

A área de cisalhamento de cada seção (por unidade de comprimento “para dentro da página”) é
A_{\rm cisalh} = t\;\times\;(\text{largura da placa}),
onde t=10\,\text{mm} e a “largura da placa” (distância para dentro da página) tomamos como 120\,\text{mm} conforme indicado no desenho. Logo
A_{\rm cisalh} =10\,\text{mm}\times120\,\text{mm} =1200\,\text{mm}^2.
Então a tensão de cisalhamento média em cada plano AC ou BD é
\tau_{\rm m} =\frac{V}{A_{\rm cisalh}} =\frac{20\,000\;\text{N}}{1200\,\text{mm}^2} \approx16{,}7\;\text{N/mm}^2 =16{,}7\;\text{MPa}.

Passo 4

A área de contato entre o cilindro e a placa, supondo contato de face inteira, vale
A_{\rm contato} =(\text{comprimento do cilindro para dentro da página})\;\times\;(\text{diâmetro do cilindro}) =120\,\text{mm}\times50\,\text{mm} =6000\,\text{mm}^2.áâ
A tensão de contato média é
p_{\rm m} =\frac{F}{A_{\rm contato}} =\frac{40\,000\;\text{N}}{6000\,\text{mm}^2} \approx6{,}67\;\text{N/mm}^2 =6{,}67\;\text{MPa}.

Resposta

Tensão de cisalhamento média nas seções AC e BD:
\boxed{\tau_{\rm m}=16{,}7\;\text{MPa}.}
Tensão de contato média sob a superfície da placa:
\boxed{p_{\rm m}=6{,}67\;\text{MPa}.}

Exercícios relacionados