Seja uma laje simplesmente apoiada de concreto com altura h=30 \mathrm{~cm}, largura b=100 \mathrm{~cm}, vão l=10 \mathrm{~m}, carga variável q=7,5 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}, concreto C50, tensão efetiva da armadura de protensão f_{p, e f}=1400 \mathrm{MPa}, tensão na armadura passiva f_{y d}=434,8 \mathrm{MPa}, tensão de compressão máxima permitida em serviço f_{c, \max }=25 M P a e tensão máxima de tração em serviço f_{t, \max }=6,0 \mathrm{MPa}. Calcule a força de protensão para cada situação.
d) força de protensão excêntrica e=10 \mathrm{~cm} de modo que a tensão de tração na fibra inferior da seção no centro do vão seja igual a f_{t, \max }

Passo 1

Resumindo, temos uma laje simplesmente apoiada com:
– altura h=0,30\\ \mathrm{m}, largura b=1,00\\ \mathrm{m} (largura de tira unitária), vão L=10\\ \mathrm{m}.
– carregamento variável q=7{,}5\\ \mathrm{kN/m^2} (logo, carga linear w=q\,b).
– seção retangular com área A=b\,h e momento de inércia I=b\,h^3/12.
– perfil de protensão em “reta” com excentricidade e=0,10\\ \mathrm{m} acima do CG da seção, de modo a produzir momento fletor de “anti-flexão” (hogging) M_p = P\,e.
– tensão admissível de tração no serviço na fibra inferior f_{t,\max}=6{,}0\\ \mathrm{MPa}.
O objetivo é encontrar a força de protensão P que faz com que, no centro do vão, a tensão de tração na fibra inferior seja exatamente 6{,}0\\ \mathrm{MPa}.

Passo 2

Calcular propriedades geométricas e esforços de carregamento:
A = b\,h = 1{,}00\cdot0{,}30 = 0{,}30\\ \mathrm{m^2}, \quad I = \frac{b\,h^3}{12} = \frac{1\cdot(0{,}30)^3}{12} = 0{,}00225\\ \mathrm{m^4}.
A carga distribuída na tira unitária é
w = q\,b = 7{,}5\\ \mathrm{kN/m^2}\times1{,}00\\ \mathrm{m} = 7{,}5\\ \mathrm{kN/m} =7\,500\\ \mathrm{N/m}.
O momento fletor máximo por essa carga, no meio do vão, é
M_w = \frac{w\,L^2}{8} = \frac{7\,500\,(10)^2}{8} = 93\,750\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 3

Escrevemos a tensão na fibra inferior ( y=-\tfrac h2=-0,15\\ \mathrm{m}, tomando positivo para cima) como soma de
– tensão uniforme de compressão -P/A (sinal negativo indica compressão),
– tensão de flexão \displaystyle \frac{M_{\rm net}\;y}{I}, onde o momento líquido é
M_{\rm net} = M_w - M_p = M_w - P\,e.
Logo, na fibra inferior ( y=-0{,}15\\ \mathrm{m}) a tensão é
\sigma_{\rm inf} = -\frac{P}{A} \;+\;\frac{(M_w - P\,e)\,\bigl(-0{,}15\bigr)}{I} = -\frac{P}{A} - 0{,}15\,\frac{M_w - P\,e}{I}.
Exigimos que esta tensão seja igual a \displaystyle +f_{t,\max}=+6{,}0\\ \mathrm{MPa} (tensão de tração positiva), isto é
-\frac{P}{A} \;-\;0{,}15\,\frac{M_w - P\,e}{I} \;=\; +6{,}0\times10^6\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Rearranjando a equação acima para isolar P:
-\frac{P}{A} - 0{,}15\,\frac{M_w}{I} + 0{,}15\,\frac{P\,e}{I} =6{,}0\times10^6 \quad\Longrightarrow\quad P\Bigl(-\tfrac1A + 0{,}15\,\tfrac{e}{I}\Bigr) =6{,}0\times10^6 + 0{,}15\,\frac{M_w}{I}.
Multiplicando por -1 em ambos os lados fica
P\Bigl(\tfrac1A - 0{,}15\,\tfrac{e}{I}\Bigr) =-6{,}0\times10^6 \;-\;0{,}15\,\frac{M_w}{I} \quad\Longrightarrow\quad P=\frac{-6{,}0\times10^6 \;-\;0{,}15\,\dfrac{M_w}{I}} {\dfrac1A - 0{,}15\,\dfrac{e}{I}}.
Substituindo valores numéricos ( A=0{,}30\\ \mathrm{m^2}, I=0{,}00225\\ \mathrm{m^4}, M_w=93\,750\\ \mathrm{N\,m}, e=0{,}10\\ \mathrm{m}):
0{,}15\,\frac{M_w}{I} =0{,}15\cdot\frac{93\,750}{0{,}00225} \approx6{,}25\times10^6\\ \mathrm{Pa},
\dfrac1A - 0{,}15\,\dfrac{e}{I} =\frac1{0{,}30} \;-\;0{,}15\;\frac{0{,}10}{0{,}00225} \approx3{,}3333 - 6{,}6667 = -3{,}3333\\ (\mathrm{m^{-2}}).
Portanto,
P =\frac{-6{,}0\times10^6 - 6{,}25\times10^6}{-3{,}3333} =\frac{-12{,}25\times10^6}{-3{,}3333} \approx3{,}675\times10^6\\ \mathrm{N} =3{,}675\\ \mathrm{MN}.
Contudo, note que obtivemos denominador negativo pelo sinal de hogging: o valor absoluto de P é
P\approx3{,}675\times10^6\\ \mathrm{N} \quad\Longrightarrow\quad P\approx3{,}675\\ \mathrm{MN}.
(Notar que há diferença de convenção de sinais: o importante é o módulo de P.)

Resposta

A força de protensão necessária é aproximadamente
\boxed{P \approx 3{,}68\\ \mathrm{MN}.}

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